Équations

C'est vrai.

Si l'on remplace $x$ par $2 + \sqrt{ 2 }$ dans le membre de gauche de l'équation on obtient :

$ \left( 2 + \sqrt{ 2 } \right)^2 - 4 \left( 2 + \sqrt{ 2 } \right) + 2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{ 2 } + 2 - 8 - 4\sqrt{ 2 } + 2 = 0 $

donc $ + \sqrt{ 2 }$ est bien une solution de l'équation proposée.

---

C'est vrai.

En factorisant par $ l'équation se ramène à une équation « produit nul » :

$ x^2 - x = 0 $

$ \Leftrightarrow x(x - 1) = 0 $

$ \Leftrightarrow x = 0 $ ou $ x = 1 $

Donc $ S = \left\{ 0~;~1 \right\}. $

---

C'est faux.

On peut mettre $x$ en facteur dans le membre de gauche :

$x^3 + x = 0$

$ \Leftrightarrow x(x^2+1) = 0 $

$ \Leftrightarrow x = 0 $ ou $ x^2 = - 1 $

Or, l'équation $ x^2 = - 1 $ n'a aucune solution réelle car $ x^2 $ est toujours positif ou nul.

L'équation de départ admet donc $0$ comme unique solution.

---

C'est vrai.

On réduit tous les termes au même dénominateur :

$ \dfrac{ x }{ 2 } + \dfrac{ x }{ 3 } + \dfrac{ x }{ 4 } = 13 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{ 6x }{ 12 } + \dfrac{ 4x }{ 12 } + \dfrac{ 3x }{ 12 } = 13 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{ 13 }{ 12 } x = 13 $

$ \Leftrightarrow x = 13 \div \dfrac{ 13}{ 12 } = 13 \times \dfrac{ 12 }{ 13 } = 12 $

L'ensemble des solutions est donc bien $ S = \left\{ 12 \right\}.$

---

C'est vrai.

On utilise l'identité remarquable :

$ a^2 + 2ab + b^2 = ( a + b)^2 $

pour factoriser le membre de gauche.

$ x^2 + 2x + 1 = 0 $

$ \Leftrightarrow (x+1)^2 = 0 $

$ \Leftrightarrow x+1= 0 $

$ \Leftrightarrow x = - 1 $

$ - 1 $ est donc l'unique solution de l'équation proposée.

---

C'est faux.

En développant chaque membre de l'équation on obtient l'équation équivalente suivante :

$ x^2+2x+1 = x^2+2x+1 $

et cette égalité est vraie quel que soit le réel $x$.

L'ensemble des solution est donc $\mathbb{R}.$

---