1. Le piège mortel des pourcentages
C’est l’erreur numéro 1 dans les copies de Seconde, et même chez certains adultes !
La situation : Vous connaissez le prix final (après une taxe ou une remise) et le pourcentage d’évolution. Vous cherchez le prix d’avant.
L'erreur à ne JAMAIS commettre
Si un prix a augmenté de $ 20\% $, il ne faut surtout pas enlever $ 20\% $ au prix final pour retrouver le prix de départ.
Pourquoi ça ne marche pas ?
Les pourcentages ne sont pas symétriques.
- $ 20\% $ du prix de départ (qui est petit) représente une certaine somme.
- $ 20\% $ du prix final (qui est plus grand) représente une somme plus importante.
Si vous enlevez $ 20\% $ à la fin, vous enlevez « trop » d’argent et vous tombez plus bas que le départ.
Pour réussir cet exercice à tous les coups, il faut changer de logique : on ne soustrait pas, on divise.
2. La règle d’or : la division par le coefficient multiplicateur
Pour remonter le temps (passer de l’arrivée au départ), il faut inverser l’opération.
- Pour aller du départ ($ V_0 $) vers l’arrivée ($ V_1 $), on MULTIPLIE par le CM.
- Pour aller de l’arrivée ($ V_1 $) vers le départ ($ V_0 $), on DIVISE par le CM.
La formule magique
Il suffit donc de trouver le bon $ CM $ et de faire une division.
Méthode pas à pas : le cas d'une augmentation (TVA, hausse)
Scénario : Un smartphone est vendu 240 € après une augmentation de 20%. Quel était son prix avant ?
Étape 1 : Identifier le sens et calculer le CM
L’énoncé parle d’une augmentation de $ 20\% $.
Le coefficient multiplicateur est donc de la forme $ 1 + \dfrac{t}{100} $.
Étape 2 : Poser la division
Nous cherchons la valeur initiale ($ V_0 $). Nous avons la valeur finale ($ V_1 = 240 $).
Étape 3 : Calculer et conclure
Le prix initial était de 200 €.
Comparaison avec l’erreur classique :
Si vous aviez fait $ 240 – 20\% $, vous auriez calculé $ 240 \times 0,80 = 192\text{ €} $.
C’est faux ! Il manque 8 euros. La méthode de la division est la seule valide.
Méthode pas à pas : le cas d'une diminution (soldes, remise)
Scénario : En période de soldes, un manteau est affiché à 105 € après une remise de 30%. Quel était son prix hors soldes (prix barré) ?
Étape 1 : Calculer le CM (Attention danger !)
C’est une baisse de $ 30\% $. Le CM est inférieur à 1.
Note importante : Le coefficient est $ 0,70 $ (ce qu’il reste à payer), et non pas $ 0,30 $ (ce qu’on économise). Ne vous trompez pas de chiffre !
Étape 2 : Poser la division
On divise le prix payé par le coefficient.
Étape 3 : Calculer
Le prix initial était de 150 €.
5. Comment vérifier son résultat ? (L’autocorrection)
Le jour du contrôle, vous avez un doute ? Il existe une méthode simple pour vérifier si votre résultat est juste.
La méthode de la « boucle » :
Prenez le résultat que vous avez trouvé, et appliquez-lui le pourcentage de l’énoncé (en marche avant). Vous devez retomber pile sur le prix final donné dans l’exercice.
Exemple de vérification (pour le manteau ci-dessus) :
- J’ai trouvé 150 €.
- L’énoncé dit « baisse de 30% ».
- Je calcule : $ 150 \times (1 – 0,30) = 150 \times 0,70 = 105 $.
- Je retrouve bien les 105 € de l’énoncé.
Si vous ne retombez pas sur le montant exact, c’est que votre $ CM $ est faux ou que vous avez soustrait le pourcentage au lieu de diviser.
6. Schéma de synthèse à retenir
Visualisez toujours ce schéma dans votre tête avant de toucher la calculatrice :
| Sens du voyage | Opération mathématique | Formule |
| Passé $ \rightarrow $ Futur (Prix initial $ \rightarrow $ prix final) | Multiplication | $ V_1 = V_0 \times CM $ |
| Futur $ \rightarrow $ Passé (Prix final $ \rightarrow $ prix initial) | Division | $ V_0 = \dfrac{V_1}{CM} $ |
7. Exercices d’application (corrigés)
Entraînez-vous avec ces trois situations types.
Exercice 1 (classique)
Énoncé :
Le prix de l’essence a augmenté de 5% pour atteindre 1,89 € le litre. Quel était le prix avant cette hausse ?
Correction :
- Hausse de 5% $ \rightarrow CM = 1,05 $.
- On cherche la valeur avant $ \rightarrow $ Division.
- Calcul : $ \dfrac{1,89}{1,05} = 1,80 $.
- Réponse : Le prix était de 1,80 €.
Exercice 2 (soldes)
Énoncé :
Après une deuxième démarque de -50%, une paire de chaussures coûte 32 €. Quel était son prix d’origine ?
Correction :
- Baisse de 50% $ \rightarrow CM = 0,50 $.
- Calcul : $ \dfrac{32}{0,5} = 64 $.
- Réponse : Les chaussures coûtaient 64 €.
(Astuce : Diviser par 0,5 revient à multiplier par 2 !)
Exercice 3 (population)
Énoncé :
La population d’un village a baissé de 2% et compte aujourd’hui 2450 habitants. Combien y avait-il d’habitants avant ?
Correction :
- Baisse de 2% $ \rightarrow CM = 0,98 $.
- Calcul : $ \dfrac{2450}{0,98} = 2500 $.
- Réponse : Il y avait 2500 habitants.
Le coin des experts : taux réciproque
Si on vous demande : « Quel pourcentage d’évolution faut-il appliquer pour revenir au prix de départ ? », on parle de taux réciproque.
Maintenant que vous avez le prix initial, c’est facile.
Mais vous pouvez aussi le trouver directement avec le CM.
Le coefficient multiplicateur réciproque est $ \dfrac{1}{CM} $.
Exemple : Après une hausse de 25% ($ CM=1,25 $), pour revenir au départ, il faut multiplier par $ \dfrac{1}{1,25} = 0,8 $.
$ CM’ = 0,8 $ correspond à une baisse de 20%.
(On confirme bien qu’une hausse de 25% ne se compense pas par une baisse de 25%, mais de 20% !).
Besoin de plus d’entraînement ?
Vous maîtrisez le retour en arrière ?
Allez voir la fiche méthode suivante : Les évolutions successives
Ou testez-vous avec notre QCM interactif :