Méthode
15 min
Non commencé
Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues (par substitution)
Méthode
- 1ère étape : (facultative mais permet de simplifier les calculs) :
Rechercher l'équation dans laquelle il sera facile d'exprimer $ y $ en fonction de $ x $, ou $ x $ en fonction de $ y $.
On supposera, dans l'explication qui suit, que l'on a choisi d'exprimer $ y $ en fonction de $ x $ dans la première équation. - 2ème étape :
Dans la première équation, exprimer $ y $ en fonction de $ x $.
Ne pas modifier la seconde équation. - 3ème étape :
Remplacer $ y $ par l'expression trouvée précédemment dans la seconde équation.
La seconde équation n'a alors plus qu'une seule inconnue $ x. $ - 4ème étape :
Résoudre la seconde équation pour trouver $ x. $ - 5ème étape :
Calculer $ y $ en remplaçant $ x $, dans la première équation, par la valeur trouvée à l'étape précédente. - 6ème étape :
Conclure en précisant la ou les couple(s) de solution(s).
Remarque
- Pour présenter les calculs, il est préférable de recopier à chaque étape un système équivalent au système de départ en réécrivant les deux équations, y compris celle que l'on n'a pas modifiée.
- Un système admet souvent un unique couple solution mais peut aussi n'avoir aucune solution ou admettre une infinité de solutions (voir exemple 3 et 4).
Exemple
Résoudre le système :
$ (S_1)~~\begin{cases} 3x+y=2 \\ 5x+2y=3\end{cases} $
Solution :
- 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On remarque qu'ici, il sera particulièrement simple d'exprimer $ y $ en fonction de $ x $ dans la première équation. - 2ème étape : Expression de $ y $ en fonction de $ x $.
Il suffit de « faire passer » $ 3x $ dans l'autre membre dans la première équation ;
on recopie la seconde équation sans y toucher.
$ (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ 5x+2y=3\end{cases} $ - 3ème étape : Remplacement de $ y $.
On remplace $ y $ par $ (2 - 3x) $ dans la seconde équation (ne pas oublier la parenthèse !).
On ne touche pas à la première équation.
$ (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ 5x+2(2 - 3x)=3\end{cases} $ - 4ème étape : Calcul de $ x. $
On résout la seconde équation (en recopiant à chaque fois la première à l'identique).
$ (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ 5x+4 - 6x=3\end{cases} $
$ (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ - x=3 - 4\end{cases} $
$ (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ x=1\end{cases} $ - 5ème étape : Calcul de $ y. $
On remplace $ x $ par $ 1 $ dans la première équation :
$ (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3\times 1\\ x=1\end{cases} $
$ (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= - 1\\ x=1\end{cases} $ - 6ème étape : Conclusion.
Le couple $ (1~;~ - 1) $ est l'unique couple solution du système $ (S_1) $.
Exemple
Résoudre le système :
$ (S_1)~~\begin{cases} 5x - 2y=1 \\ x+3y=7\end{cases} $
Solution :
- 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On pourrait, comme dans l'exemple précédent, exprimer $ y $ en fonction de $ x $ dans la première équation. Toutefois, à cause du coefficient $ - 2 $, cela entraînerait des calculs plus longs comportant des fractions (on trouverait $ y=\dfrac{ - 1+5x}{2} $).
Il est plus simple, ici, d'exprimer $ x $ en fonction de $ y $ dans la deuxième équation. - 2ème étape : Expression de $ x $ en fonction de $ y $.
$ (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5x - 2y=1 \\ x=7 - 3y\end{cases} $ - 3ème étape : Remplacement de $ x $.
On remplace $ x $ par $ (7 - 3y) $ dans la première équation.
$ (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5(7 - 3y) - 2y=1 \\ x=7 - 3y\end{cases} $ - 4ème étape : Calcul de $ y. $
On résout la première équation.
$ (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 35 - 15y - 2y=1 \\ x=7 - 3y\end{cases} $
$ (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} - 17y= - 34 \\ x=7 - 3y\end{cases} $
$ (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=\dfrac{ - 34}{ - 17} \\ x=7 - 3y\end{cases} $
$ (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7 - 3y\end{cases} $ - 5ème étape : Calcul de $ x. $
On remplace $ y $ par $ 2 $ dans la seconde équation :
$ (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7 - 3 \times 2\end{cases} $
$ (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=1\end{cases} $ - 6ème étape : Conclusion.
Le couple $ (1~;~2) $ est l'unique solution du système $ (S_2) $.
Exemple
Résoudre le système :
$ (S_3)~~\begin{cases} 6x - 2y=3 \\ - 3x+y=5\end{cases} $
Solution :
- 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
Ici, il est facile d'exprimer $ y $ en fonction de $ x $ dans la seconde équation. - 2ème étape : Expression de $ y $ en fonction de $ x $.
$ (S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x - 2y=3 \\ y=5+3x\end{cases} $ - 3ème étape : Remplacement de $ y $.
$ (S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x - 2(5+3x)=3 \\ y=5+3x\end{cases} $ - 4ème étape : Calcul de $ x. $
$ (S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x - 10 - 6x=3 \\ y=5+3x\end{cases} $
$ (S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} - 10=3 \\ y=5+3x\end{cases} $
La première équation n'a pas de solution, donc le système n'en a pas non plus.
On peut donc passer directement à la conclusion : - 6ème étape : Conclusion.
Le système $ (S_3) $ n'admet aucune solution dans $ \mathbb{R}. $
Exemple
Résoudre le système :
$ (S_4)~~\begin{cases} 4x - 2y=6 \\ - 6x+3y= - 9\end{cases} $
Solution :
- 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On choisit d'exprimer $ y $ en fonction de $ x $ dans la première équation. - 2ème étape : Expression de $ y $ en fonction de $ x $.
$ (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} - 2y=6 - 4x\\ - 6x+3y= - 9\end{cases} $
$ (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}2y= - 6 +4x\\ - 6x+3y= - 9\end{cases} $
$ (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{ - 6 +4x}{2}\\ - 6x+3y= - 9\end{cases} $
$ (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{ - 6}{2} +\dfrac{4x}{2}\\ - 6x+3y= - 9\end{cases} $
$ (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y= - 3+2x\\ - 6x+3y= - 9\end{cases} $ - 3ème étape : Remplacement de $ y $.
$ (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= - 3+2x\\ - 6x+3( - 3+2x)= - 9\end{cases} $ - 4ème étape : Calcul de $ x. $
$ (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= - 3+2x\\ - 6x - 9+6x= - 9\end{cases} $
$ (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= - 3+2x\\ - 9= - 9\end{cases} $
La deuxième équation est toujours vérifiée. Il suffit donc qu'un couple soit solution de la première équation $ y= - 3+2x $ pour qu'il soit solution du système.
Or, cette équation possède une infinité de solutions (par exemple $ (0~;~ - 3) $, $ (1~;~ - 1) $, etc.).
On peut donc sauter la cinquième étape et passer à la conclusion. - 6ème étape : Conclusion.
Le système $ (S_4) $ admet une infinité de solutions dans $ \mathbb{R}. $