Résoudre une inéquation du premier degré

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $2x – 4 > 6$

Etape 1 : On isole le terme en $x$.
On ajoute 4 des deux côtés.

$2x > 6 + 4$

$2x > 10$

Etape 2 : On divise par le coefficient devant $x$.
Ici, le coefficient est 2, qui est un nombre positif.
Donc on ne change pas le sens de l’inégalité.

$\dfrac{2x}{2} > \dfrac{10}{2}$

$x > 5$

Conclusion : L’ensemble des solutions est l’intervalle $S = ]5 ; +\infty[$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $-3x + 12 \leqslant 0$

Etape 1 : On isole le terme en $x$.
On soustrait 12 des deux côtés.

$-3x \leqslant -12$

Etape 2 : On divise par le coefficient devant $x$.
Ici, le coefficient est -3, qui est un nombre négatif.
Donc ON INVERSE LE SENS de l’inégalité ($\leqslant$ devient $\geqslant$).

$\dfrac{-3x}{-3} \geqslant \dfrac{-12}{-3}$

$x \geqslant 4$

Conclusion : L’ensemble des solutions est l’intervalle $S = [4 ; +\infty[$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $\dfrac{1}{2}x – 3 < \dfrac{x}{3}$

Etape 1 : On regroupe les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite.

$\dfrac{1}{2}x – \dfrac{x}{3} < 3$

Etape 2 : On met au même dénominateur pour simplifier.
Le dénominateur commun entre 2 et 3 est 6.

$\dfrac{3x}{6} – \dfrac{2x}{6} < 3$

$\dfrac{3x – 2x}{6} < 3$

$\dfrac{x}{6} < 3$

Etape 3 : On isole $x$.
On multiplie par 6 (positif) des deux côtés. Le sens ne change pas.

$x < 3 \times 6$

$x < 18$

Conclusion : $S = ]-\infty ; 18[$.