Propriété (Produit nul)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un des facteurs est nul.
Autrement dit, l’équation $A(x) \times B(x) = 0$ est équivalente à :
$A(x)=0$ ou $B(x)=0$
Remarque
Cette méthode permet de remplacer une équation complexe (souvent du second degré) par deux petites équations simples du premier degré que l’on sait résoudre.
1. Cas où l’équation est déjà factorisée
Méthode pour résoudre une équation du type $(ax+b)(cx+d)=0$.
Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(2x-3)(x+4)=0$.
Etape 1 : On cite la propriété du produit nul.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.
Etape 2 : On scinde l’équation en deux.
$2x-3=0$ ou $x+4=0$
Etape 3 : On résout chaque petite équation.
- $ 2x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2} $
- $ x = -4 $
Etape 4 : On conclut en donnant l’ensemble des solutions.
L’ensemble des solutions est $S = \left\{ -4 ; \dfrac{3}{2} \right\}$.
2. Cas complexe : Nécessité de factoriser
Si l’équation n’est pas sous forme de produit, il faut essayer de factoriser l’expression.
Cas A : Avec un facteur commun
Exemple
Résoudre l’équation $(x+1)(2x-3) – (x+1)(x+5) = 0$.
Etape 1 : On repère le facteur commun et on factorise.
Le facteur commun est $(x+1)$.
$(x+1) [ (2x-3) – (x+5) ] = 0$
On réduit l’expression dans le crochet (attention au signe moins devant la parenthèse !) :
$(x+1) (2x – 3 – x – 5) = 0$
$(x+1)(x-8) = 0$
Etape 2 : On applique la règle du produit nul.
$x+1=0$ ou $x-8=0$
$x=-1$ ou $x=8$
Conclusion : $S = \{ -1 ; 8 \}$
Cas B : Avec une identité remarquable
Exemple
Résoudre l’équation $x^2 – 9 = 0$.
Etape 1 : On reconnaît une différence de deux carrés ($a^2 – b^2$).
Ici $a=x$ et $b=3$ car $9=3^2$.
On utilise l’identité $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$.
L’équation s’écrit donc : $(x-3)(x+3) = 0$.
Etape 2 : On termine avec la règle du produit nul.
$x-3=0$ ou $x+3=0$
$x=3$ ou $x=-3$
Conclusion : $S = \{ -3 ; 3 \}$
3. Les pièges à éviter
Piège n°1 : Développer au lieu de factoriser
Face à $(2x+3)(x-5)=0$, ne développez surtout pas !
Si vous développez, vous obtenez $2x^2 – 7x – 15 = 0$, ce qui est une équation du second degré plus difficile à résoudre sans les outils de Première.
Restez toujours sous forme factorisée quand c’est possible.
Piège n°2 : Le membre de droite n’est pas nul
Pour utiliser la règle du produit nul, il faut impérativement avoir « = 0 » à droite.
Exemple à ne PAS faire : $(x+1)(x+2) = 2 \Rightarrow x+1=2$ ou $x+2=2 \dots$ C’EST FAUX !
La bonne méthode :
$(x^2 + 2x + x + 2) – 2 = 0$
$x^2 + 3x + 2 – 2 = 0$
$x^2 + 3x = 0$
$x(x+3) = 0$
$x=0$ ou $x+3=0$
$x=0$ ou $x=-3$
Conclusion : $S = \{ -3 ; 0 \}$
Pour aller plus loin
Maintenant que vous savez résoudre des équations produits, vous pouvez passer aux étapes suivantes :
- Les inéquations quotient : Pour apprendre à gérer les valeurs interdites.
- Dresser un tableau de signes : Indispensable pour résoudre des inéquations produits (ex: $(x+1)(2x-3) > 0$).