Méthode
Pour résoudre graphiquement des inéquations du type $\left|x – a\right| < b$ ou $\left|x - a\right| \leqslant b$ ou $\left|x - a\right| > b$ ou $\left|x – a\right| \geqslant b $, on utilise la propriété du cours qui dit que $\left|x – a\right|$ représente la distance entre $x$ et $a$ (plus précisément entre les points d’abscisses $x$ et $a$).
Exemple
Par exemple, soit l’inéquation $\left|x – 2\right| < 3$.
On interprète ceci comme « la distance entre x et 2 est strictement inférieure à 3 ».
On trace donc le graphique suivant :
Sur le graphique on voit que les nombres situés à moins de 3 unités du nombre 2 sont les nombres de l’intervalle $\left] – 1; 5\right[$. Donc:
$S=\left] – 1; 5\right[$
Si l’inéquation avait été $\left|x – 2\right| \leqslant 3$, il fallait prendre les extrémités de l’intervalle. L’ensemble des solutions était alors l’intervalle fermé:
$S=\left[ – 1; 5\right]$
Variante 1
Pour une inéquation du type $\left|x – a\right| > b$ l’ensemble des solutions est la réunion de deux intervalles.
Exemple
Par exemple pour l’inéquation $\left|x – 2\right| > 3$, les solutions sont les nombres situés à plus de 3 unités du nombre 2.
On trouve donc :
$S=\left] – \infty ; – 1\right[ \cup \left]5; \infty \right[$
Variante 2
Pour une inéquation du type $\left|x+a\right| < b$ on utilise le fait que $x+a=x - \left( - a\right)$.
Exemple
Par exemple l’inéquation $\left|x+2\right| < 3$ est identique à $\left|x - \left( - 2\right)\right| < 3$.
On applique alors la même méthode : la distance entre x et -2 est strictement inférieure à 3 etc. (faites le graphique!) et on trouve :
$S=\left] – 5; 1\right[$
Variante 3
Pour une inéquation du type $\left|mx+a\right| < b$ on met $m$ en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par $\left|m\right|$.
Exemple
Par exemple l’inéquation $\left|2x – 1\right| < 3$ donne:
$\left|2\left(x – \dfrac{1}{2}\right)\right| < 3$
$\left|2\right|\times \left|x – \dfrac{1}{2}\right| < 3$ car $\left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|$
$2\times \left|x – \dfrac{1}{2}\right| < 3$
$\left|x – \dfrac{1}{2}\right| < \dfrac{3}{2}$ en divisant chaque membre par 2.
On est revenu au cas précédent et on trouve:
$S=\left] – 1; 2\right[$