Inéquation avec quotients

Résoudre l'inéquation : $ \dfrac{2}{x - 2} \leqslant x - 1 $

1. On recherche les valeurs de $ x $ pour lesquelles l'inéquation à un sens
   
   Ici $ x - 1 $ est toujours défini et $ \dfrac{2}{x - 2} $ est défini si $ x - 2\neq 0 $ c'est à dire si $ x\neq 2 $.
   
   L'inéquation a donc un sens uniquement sur $ \mathbb{R}\backslash\left\{2\right\} $
2. On "passe tous les termes" dans le membre de gauche $ \dfrac{2}{x - 2} \leqslant x - 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{x - 2} - \left(x - 1\right) \leqslant 0 $
3. On réduit le membre de gauche au même dénominateur
   
   Le dénominateur commun est $ x - 2 $ :
   
   $ \dfrac{2}{x - 2} - \left(x - 1\right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{\left(x - 1\right)\left(x - 2\right)}{x - 2} \leqslant 0 $
   
   $ \Leftrightarrow \dfrac{2 - \left(x - 1\right)\left(x - 2\right)}{x - 2} \leqslant 0 $
   
   $ \Leftrightarrow \dfrac{ - x^{2}+3x}{x - 2} \leqslant 0 $

4. On factorise le numérateur et le dénominateur

   Le dénominateur est du premier degré ; on peut mettre $ x $ en facteur au numérateur :

   $ \dfrac{ - x^{2}+3x}{x - 2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{x\left( - x+3\right)}{x - 2} \leqslant 0 $

   $ x $ s'annule pour $ x=0 $ et son coefficient directeur 1 est positif

   $ - x+3 $ s'annule pour $ x=3 $ et son coefficient directeur -1 est négatif

   $ x - 2 $ s'annule pour $ x=2 $ et son coefficient directeur 1 est positif

   On obtient le tableau de signes suivant :

   
5. On regarde les signes correspondant à l'inégalité demandée
   
   Ici, on veut que $ \dfrac{x\left( - x+3\right)}{x - 2} $ soit négatif ou nul. D'après le tableau de signes, ceci est réalisé lorsque $ x\in \left[0;2\right[ \cup \left[3;+\infty \right[ $