Objectif
Savoir classer n’importe quel nombre dans le « plus petit » ensemble auquel il appartient parmi les ensembles usuels : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Pourquoi « le plus petit » ?
Un nombre appartient souvent à plusieurs ensembles (par exemple, le nombre $2$ est à la fois entier, décimal et réel). L’objectif est de trouver l’ensemble le plus précis (le plus restrictif).
La règle d'or : simplifier d'abord !
C’est l’erreur numéro 1 des élèves : ne jamais juger un nombre sur son apparence.
Avant de répondre, vous devez impérativement effectuer les calculs ou simplifier l’expression.
- Une racine carrée peut cacher un entier : $\sqrt{36} = 6$.
- Une fraction peut cacher un nombre décimal : $\dfrac{3}{2} = 1,5$.
- Une expression complexe peut se simplifier : $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5$.
La méthode en 5 étapes
Pour déterminer l’ensemble d’un nombre $x$, suivez cet algorithme pas à pas. Testez les ensembles dans l’ordre, du plus petit ($\mathbb{N}$) au plus grand ($\mathbb{R}$). Dès que le test est validé, vous avez trouvé votre ensemble !
Étape 1 : Le test des entiers naturels ($\mathbb{N}$)
Le nombre $x$, une fois simplifié, est-il un nombre entier positif ($0, 1, 2, 3…$) ?
- Oui $\rightarrow$ $x \in \mathbb{N}$ (C’est fini).
- Non (il est négatif ou a une virgule) $\rightarrow$ Passez à l’étape 2.
Étape 2 : Le test des entiers relatifs ($\mathbb{Z}$)
Le nombre $x$, une fois simplifié, est-il un nombre entier négatif ($-1, -2, -10…$) ?
- Oui $\rightarrow$ $x \in \mathbb{Z}$ (C’est fini).
- Non (il a une partie décimale, « une virgule ») $\rightarrow$ Passez à l’étape 3.
Étape 3 : Le test des décimaux ($\mathbb{D}$)
C’est souvent l’étape la plus délicate. Un nombre est décimal s’il peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
- Méthode infaillible pour les fractions :
1. Mettez la fraction sous forme irréductible (simplifiez au maximum).
- Résultat du test :
- La partie décimale s’arrête $\rightarrow$ $x \in \mathbb{D}$.
- La partie décimale est infinie $\rightarrow$ Passez à l’étape 4.
Étape 4 : Le test des rationnels ($\mathbb{Q}$)
Le nombre peut-il s’écrire sous la forme d’une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a$ et $b$ entiers) ?
- Oui $\rightarrow$ $x \in \mathbb{Q}$. (Note : tous les nombres à virgule périodique infinie sont des rationnels, ex: $0,3333…$).
- Non $\rightarrow$ Passez à l’étape 5.
Étape 5 : Le test des réels ($\mathbb{R}$)
Si le nombre n’est ni entier, ni décimal, ni rationnel, c’est un nombre irrationnel. Il appartient à l’ensemble des réels.
- Indices : Ce sont souvent des racines carrées qui ne tombent pas juste ($\sqrt{2}, \sqrt{3}$) ou des nombres impliquant $\pi$. $\rightarrow$ $x \in \mathbb{R}$.
Exemples résolus et commentés
Voyons comment appliquer la méthode sur des cas pièges fréquents en devoir.
Exemple A : Le nombre $A = \dfrac{42}{7}$
- Simplification : je calcule $42 \div 7$. Cela donne exactement $6$.
- Test $\mathbb{N}$ : est-ce que $6$ est un entier positif ? Oui.
- Conclusion : le plus petit ensemble est $\mathbb{N}$.
(Même s’il est aussi dans $\mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$).
Exemple B : Le nombre $B = -\dfrac{\sqrt{81}}{3}$
- Simplification : $\sqrt{81} = 9$. Donc $B = -\dfrac{9}{3}$. Je simplifie la fraction : $B = -3$.
- Test $\mathbb{N}$ : est-ce un entier positif ? Non (il est négatif).
- Test $\mathbb{Z}$ : est-ce un entier négatif ? Oui.
- Conclusion : le plus petit ensemble est $\mathbb{Z}$.
Exemple C : Le nombre $C = \dfrac{3}{40}$
- Simplification : La fraction est déjà irréductible (pas de diviseur commun entre 3 et 40).
- Test $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ : ce n’est pas un entier.
- Test $\mathbb{D}$ : j’analyse le dénominateur $40$.
- $40 = 4 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$.
- Il n’y a que des facteurs 2 et 5.
- Vérification calculatrice : $3 \div 40 = 0,075$ (fini).
- Conclusion : le plus petit ensemble est $\mathbb{D}$.
Exemple D : Le nombre $D = \dfrac{1}{3}$
- Test $\mathbb{D}$ : le dénominateur est 3. Ce n’est ni un 2, ni un 5.
- Vérification calculatrice : $0,333333…$ (infini).
- Test $\mathbb{Q}$ : c’est une fraction d’entiers ? Oui.
- Conclusion : le plus petit ensemble est $\mathbb{Q}$.
Exemple E : Le nombre $E = 2\pi – \pi$
- Simplification : $2\pi – \pi = \pi$.
- Test : $\pi$ n’est pas une fraction. Son développement décimal est infini et non périodique.
- Conclusion : le plus petit ensemble est $\mathbb{R}$.
Exemple F : Le nombre $\dfrac{14}{2}$
- Simplification : $\dfrac{14}{2} = 7$.
- Test : 7 est un entier positif.
- Conclusion : le plus petit ensemble est $\mathbb{N}$.
Exemple G : Le nombre $3 \times 10^{-2}$
- Simplification : $3 \times 10^{-2} = \dfrac{3}{100} = 0,03$.
- Test : c’est un nombre décimal (fini).
- Conclusion : le plus petit ensemble est $\mathbb{D}$.
Exemple H : Le nombre $\dfrac{\pi}{2}$
- Analyse : contient $\pi$ et ne se simplifie pas pour l’éliminer.
- Test : ce n’est pas un rationnel.
- Conclusion : le plus petit ensemble est $\mathbb{R}$.
Exemple I : Le nombre $-\dfrac{1}{7}$
- Simplification : fraction irréductible.
- Test D : dénominateur 7 (ni 2 ni 5). Ce n’est pas un décimal.
- Test Q : c’est un quotient d’entiers.
- Conclusion : le plus petit ensemble est $\mathbb{Q}$.
Conseils du prof pour réussir
- Attention au piège de la calculatrice !
Si vous tapez $\dfrac{1}{3}$, la calculatrice affiche parfois $0.3333333333$.- Ne concluez pas que ça s’arrête ! La calculatrice manque de place sur l’écran.
- Fiez-vous toujours à la règle du dénominateur (facteurs 2 et 5) pour distinguer $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$.
- Les racines carrées « inconnues »
Si vous tombez sur $\sqrt{7}$, demandez-vous : « Est-ce un carré parfait ? » (comme 4, 9, 16, 25…). Non ? Alors c’est directement un Réel ($\mathbb{R}$). Pas besoin de chercher plus loin. - La notation des ensembles
N’oubliez pas les symboles !- $\in$ signifie « appartient à ».
- $\notin$ signifie « n’appartient pas à ».
Exemple de rédaction parfaite : « Après simplification, $x = -5$. Comme c’est un entier négatif, $x \in \mathbb{Z}$. »*
- Ne pas confondre « appartient » et « inclus »
- Le symbole $\in$ (appartient) relie un nombre à un ensemble.
Exemple : $2 \in \mathbb{N}$ (le nombre 2 est dans l’ensemble $\mathbb{N}$).
- Le symbole $\subset$ (inclus) relie un ensemble à un autre ensemble.
Exemple : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ (tout l’ensemble $\mathbb{N}$ est à l’intérieur de l’ensemble $\mathbb{Z}$).
- Astuce : si vous parlez d’un seul nombre ($x$, $3$, $-5$…), utilisez $\in$. Si vous comparez deux « sacs » de nombres ($\mathbb{N}$, $\mathbb{R}$…), utilisez $\subset$.
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Consulter la fiche méthode : Union et intersection d’intervalles