Méthode
En seconde et en première, seuls 3 types d’expressions posent problème :
-
1er cas : L’expression de $f$ est de la forme $f\left(x\right)=\dfrac{N}{D}$
$f$ est définie lorsque $D\neq 0$ (on ne peut pas diviser par zéro)
-
2ème cas : L’expression de $f$ est de la forme $f\left(x\right)=\sqrt{R}$
$f$ est définie lorsque $R\geqslant 0$ (la racine carrée n’existe que pour des nombres positifs ou nuls)
-
3ème cas : L’expression de $f$ est de la forme $f\left(x\right)=\dfrac{N}{\sqrt{R}}$
$f$ est définie lorsque $R > 0$ (c’est une combinaison des 2 cas précédents…)
Dans les autres cas étudiés en seconde et en première, les fonctions sont en général définies sur $\mathbb{R}$, c’est à dire qu’on peut calculer l’image de n’importe quel nombre réel.
Exemple 1
Donner l’ensemble de définition de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{x+2}{x – 3}$
$f$ est définie si et seulement si le dénominateur est différent de 0.
(Attention : le numérateur, lui, peut très bien être nul, cela ne pose pas de problème ! )
Or $x – 3 \neq 0$ si et seulement si $x\neq 3$
Donc $f$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ différentes de 3. On écrit $D_{f} = \mathbb{R}\backslash\left\{3\right\}$ ou encore $D_{f}=\left] – \infty ; 3\right[ \cup \left]3 ; +\infty \right[$
Exemple 2
Donner l’ensemble de définition de la fonction $f : x \mapsto \sqrt{x – 1}$
$f$ est définie si et seulement si l’expression située sous le radical est positive ou nulle.
C’est à dire, ici, si et seulement si $x – 1\geqslant 0$ donc $x\geqslant 1$.
L’ensemble de définition est donc $D_{f}=\left[1 ; +\infty \right[$
L’intervalle est fermé en $1$ car $x$ peut prendre la valeur $1$.
Exemple 3
Donner l’ensemble de définition de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{x+3}{\sqrt{3x – 2}}$
On est ici dans le troisième cas avec un radical au dénominateur.
$f$ est définie si et seulement si l’expression située sous le radical est strictement positive.
C’est à dire, ici, si et seulement si $3x – 2 > 0$. Donc si et seulement si $3x > 2$, c’est à dire $x > \dfrac{2}{3}$.
L’ensemble de définition est donc $D_{f}=\left]\dfrac{2}{3} ; +\infty \right[$
L’intervalle est ouvert en $\dfrac{2}{3}$ car $x$ ne peut pas prendre la valeur $\dfrac{2}{3}$.
Remarque
Parfois, un intervalle d’étude plus restreint est proposé dans l’énoncé. Par exemple :
Enoncé
Soit la fonction $f$ définie sur $\left]3 ; +\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x – 3}$
etc.
On a vu dans l’exemple 1, que l’on pouvait définir $f$ sur $\left] – \infty ; 3\right[ \cup \left]3 ; +\infty \right[$ mais ici l’auteur du sujet a choisi de restreindre l’ensemble de définition (par exemple pour simplifier les questions qui suivent… ).
Il faut, bien entendu, suivre les indications de l’énoncé dans ce cas…