1 – A partir d’une courbe
Méthode
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Placer sur l’axe des ordonnées le nombre dont on cherche le ou les antécédents.
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Tracer la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par ce point,
Le ou les abscisses des points d’intersection avec la courbe (s’ils existent) sont les antécédents cherchés.
Exemple
La fonction $f $ est représentée par la courbe ci-dessous :
On recherche le(s) antécédent(s) de $2$ par la fonction $f$.
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On se place au point d’ordonnée $2$ sur l’axe $Oy$ puis on trace la droite «horizontale» passant par ce point :
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On lit les abscisses des points d’intersection de cette droite et de la courbe :
Dans cet exemple, il y a deux points d’intersection d’abscisses respectives $1$ et $4$.
$2$ a donc deux antécédents qui sont $1$ et $4$.
2 – A partir d’une formule
Méthode
Pour trouver l’antécédent de $a$ par la fonction $f $, on résout l’équation $f\left(x\right)=a$
Exemple 1
On recherche le(s) antécédent(s) de $ – 1$ par la fonction $g$ définie par $g\left(x\right)=5x+3$.
Pour cela, on résout l’équation $g\left(x\right)= – 1$ :
$5x+3= – 1$
$5x= – 1 – 3$
$5x= – 4$
$x= – \dfrac{4}{5}$
$ – 1$ a un unique antécédent : $ – \dfrac{4}{5}$
Exemple 2
On recherche le(s) antécédent(s) de $1$ par la fonction $h$ définie par $h\left(x\right)=x^{2}+3$.
Pour cela, on résout l’équation $h\left(x\right)=1$ :
$x^{2}+3=1$
$x^{2}=1 – 3$
$x^{2}= – 2$
Cette équation n’a pas de solution car $x^{2}$ est toujours positif et ne peut donc pas être égal à $ – 2$
$1$ n’a donc aucun antécédent par la fonction $h$