1. Le « grand mensonge » de l’intuition
C’est l’erreur la plus tentante en mathématiques financières et statistiques. Votre cerveau veut simplifier les choses, mais en pourcentages, l’intuition est votre ennemie.
Mise en situation :
Un magasin augmente le prix d’un article de 10 % en janvier.
En février, il augmente encore le prix de 10 %.
De combien le prix a-t-il augmenté au total ?
Réponse de l’élève pressé (FAUSSE) :
« Bah, 10 % + 10 % = 20 % ! »
La réalité mathématique :
L’augmentation réelle est de 21 %.
Le 1 % « caché » vient du fait que la deuxième augmentation s’applique sur un prix déjà gonflé par la première.
Dans cette fiche, nous allons voir pourquoi les pourcentages ne s’additionnent JAMAIS et comment utiliser la méthode multiplicative pour trouver le bon résultat à tous les coups.
2. La règle d’or : tout passe par le coefficient multiplicateur
Pour traiter plusieurs évolutions à la suite (successives), il n’y a qu’une seule règle absolue :
La formule du coefficient global ($CM_{global}$)
« Pour obtenir l’évolution globale, on doit MULTIPLIER les coefficients multiplicateurs de chaque étape. »
Si une valeur subit plusieurs variations successives (d’abord $t_1 \%$, puis $t_2 \%$, etc.), le coefficient multiplicateur global est :
Une fois que vous avez ce $CM_{global}$, vous pouvez retrouver le taux d’évolution global ($t_{global}$) avec la formule :
3. Démonstration par l’exemple (le cas du +10 % puis +10 %)
Reprenons notre exemple d’introduction pour comprendre d’où sort ce 21 %.
Étape 1 : Traduire les pourcentages en coefficients (CM)
- Hausse de 10 % : $ CM_1 = 1 + \dfrac{10}{100} = 1,10 $.
- Seconde hausse de 10 % : $ CM_2 = 1 + \dfrac{10}{100} = 1,10 $.
Étape 2 : Calculer le coefficient global
On applique la règle de la multiplication :
Étape 3 : Revenir au pourcentage
Le nombre 1,21 signifie qu’on a gardé le prix de départ (1) et qu’on a ajouté 0,21.
Conclusion : L’augmentation globale est bien de 21 % (et non 20 %).
4. Le cas classique : hausse puis baisse (pourquoi on ne revient pas à 0 ?)
C’est une question piège très fréquente en interrogation écrite.
Énoncé :
Une action en bourse grimpe de 50 %. Le lendemain, suite à une mauvaise nouvelle, elle chute de 50 %.
L’action est-elle revenue à son prix de départ ?
Intuition (Fausse) : $+50 – 50 = 0$. Oui, elle est revenue au départ.
Calcul (Vrai) : Non, l’action a perdu de la valeur !
La démonstration pas à pas :
Interprétation :
Un coefficient de 0,75 est inférieur à 1. C’est donc une baisse.
Pour trouver le taux :
Conclusion :
L’action a globalement baissé de 25 %.
*Pourquoi ? Parce que la baisse de 50 % s’est appliquée sur un montant qui était très haut. La chute a donc été « plus lourde » (en valeur absolue) que la montée.
5. Méthode : comment rédiger parfaitement cet exercice ?
Voici le modèle de rédaction attendu par vos professeurs pour avoir tous les points.
Exemple
Exercice type :
Le prix du gaz augmente de 15 % en septembre, puis diminue de 5 % en octobre, et augmente enfin de 2 % en novembre.
Quelle est l’évolution globale sur les trois mois ? (Arrondir à 0,01 %).
Rédaction proposée :
- $ CM_{sept} = 1 + \dfrac{15}{100} = 1,15 $
- $ CM_{oct} = 1 – \dfrac{5}{100} = 0,95 $ (Attention, c’est une baisse !)
- $ CM_{nov} = 1 + \dfrac{2}{100} = 1,02 $
Les évolutions sont successives, donc je multiplie les coefficients :
(À la calculatrice)
Sur les trois mois, le prix du gaz a globalement augmenté de 11,44 % (arrondi).
Notez bien : Si on avait additionné ($15 – 5 + 2$), on aurait trouvé 12 %. L’écart commence à être significatif !
6. Les 3 astuces pour ne jamais se tromper
- Astuce n°1 : l’ordre ne compte pas.
Puisqu’il s’agit d’une multiplication ($ A \times B \times C $), vous pouvez intervertir l’ordre.
Une baisse de 20 % suivie d’une hausse de 50 % donne exactement le même résultat final qu’une hausse de 50 % suivie d’une baisse de 20 %.
$ 0,8 \times 1,5 = 1,2 $ et $ 1,5 \times 0,8 = 1,2 $.
- Astuce n°2 : ne soustrayez « 1 » qu’à la toute fin.
Ne cherchez pas à repasser en pourcentage entre chaque étape. Gardez vos CM ($ 1,12 \times 0,9 \times … $) jusqu’au bout. Ne faites la conversion en % qu’une fois le calcul terminé.
- Astuce n°3 : vérifiez la cohérence.
Si vous avez une hausse énorme (+100 %, donc $\times 2$) et une baisse minuscule (-1 %, donc $\times 0,99$), le résultat doit être une hausse.
$ 2 \times 0,99 = 1,98 $ (Hausse de 98 %). C’est cohérent.
7. Exercices d’entraînement
À vous de jouer !
Exemple A (succession de baisses)
Énoncé :
Un magasin liquide son stock. Il fait une première remise de -20 %, puis une « remise supplémentaire » de -10 % sur le prix déjà soldé.
Quel est le pourcentage total de réduction ?
Solution :
- Attention, $-20 – 10$ ne fait pas $-30 \%$ !
- $ CM_1 = 0,80 $ et $ CM_2 = 0,90 $.
- $ CM_{global} = 0,80 \times 0,90 = 0,72 $.
- Taux global = $ 0,72 – 1 = -0,28 $.
- Réponse : La réduction totale est de 28 % (et non 30 %).
Exemple B (le yoyo)
Énoncé :
Un prix augmente de 20 % puis diminue de 20 %.
Quel est le taux d’évolution global ?
Solution :
- $ CM_1 = 1,20 $ et $ CM_2 = 0,80 $.
- $ CM_{global} = 1,20 \times 0,80 = 0,96 $.
- Taux global = $ 0,96 – 1 = -0,04 $.
- Réponse : Le prix a globalement baissé de 4 %.
Et après ?
Vous maîtrisez les évolutions successives ? Bravo !
Mais sauriez-vous retrouver le taux moyen annuel ?
Voir la Fiche : Taux d’évolution moyen
Ou retournez au sommaire pour faire des exercices :