Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O~,~\vec{i},~\vec{j})$.
On considère les points $A(2~;~4), B(5~;~5), C(1~;~1)$ et $D(7~;~3).$
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Faire une figure.
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Montrer que le quadrilatère $ABDC$ est un trapèze.
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On note $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $A$.
Déterminer, par le calcul les coordonnées de $E$.
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Montrer que $B$ est le milieu du segment $[ED]$.
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Soient $M$ et $N$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CD]$.
Déterminer les coordonnées de $M$ et de $N$.
En déduire que les points $E$, $M$ et $N$ sont alignés.
Corrigé
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Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5 – 2 \\ 5 – 4 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$
De même, \les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{CD}$ sont :
$$\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} x_D – x_C \\ y_D – y_C \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 7 – 1 \\ 3 – 1 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$$
On remarque que $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$ ; \les \vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires donc \les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallè\les.
Par conséquent, $ABDC$ est un trapèze.
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Notons $(x_E~;~y_E)$ \les coordonnées du point $E$.
$E$ \le symétrique de $C$ par rapport à $A$, par conséquent $A$ est \le milieu de $[EC]$.
Les coordonnées du milieu de $[EC]$ sont $\left(\dfrac{x_E+x_C}{2}~;~\dfrac{y_E+y_C}{2}\right)$, c’est à dire $\left(\dfrac{x_E+1}{2}~;~\dfrac{y_E+1}{2}\right)$.
Les coordonnées de $A$ sont $(2~;~4)$ ; $A$ est donc \le milieu de $[EC]$ si et seulement si :
$$\begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E+1=4 \\ y_E+1=8\end{cases}$$
$$\phantom{\begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases}} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E=3 \\ y_E=7\end{cases}$$
Le point $E$ a donc pour coordonnées $(3~;~7)$.
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Le milieu de $[ED]$ a pour coordonnées :
$\left(\dfrac{x_E+x_D}{2}~;~\dfrac{y_E+y_D}{2}\right)$$=\left(\dfrac{3+7}{2}~;~\dfrac{7+3}{2}\right)$$=(5~;~5).$
Le milieu de $[ED]$ est donc le point $B.$
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Les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$=\left(\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{9}{2}\right).$
Les coordonnées du milieu $N$ de $[CD]$ sont $\left(\dfrac{x_C+x_D}{2}~;~\dfrac{y_C+y_D}{2}\right)$$=\left(4~;~2\right).$
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EM}$ sont alors :
$$\begin{pmatrix} x_M – x_E\\y_M – y_E \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} \dfrac{7}{2} – 3\\ \\ \dfrac{9}{2} – 7 \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \\ – \dfrac{5}{2} \end{pmatrix}$$
et \les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{EN}$ : $$\begin{pmatrix} x_N – x_E\\y_N – y_E \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 4 – 3 \\ 2 – 7 \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 1 \\ – 5 \end{pmatrix} .$$
On remarque que $\overrightarrow{EN}=2\overrightarrow{EM}$, donc \les \vecteurs $\overrightarrow{EN}$ et $\overrightarrow{EM}$ sont colinéaires et \les points $E, M$ et $N$ sont alignés. ( La relation $\overrightarrow{EN}=2\overrightarrow{EM}$ montre également que $M$ est \le milieu de $[EN]$.)