Trapèze et vecteurs
Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~,~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(2~;~4), B(5~;~5), C(1~;~1) $ et $ D(7~;~3). $
- Faire une figure.
- Montrer que le quadrilatère $ ABDC $ est un trapèze.
- On note $ E $ le symétrique de $ C $ par rapport à $ A $.
Déterminer, par le calcul les coordonnées de $ E $. - Montrer que $ B $ est le milieu du segment $ [ED] $.
- Soient $ M $ et $ N $ les milieux respectifs des segments $ [AB] $ et $ [CD] $.
Déterminer les coordonnées de $ M $ et de $ N $.
En déduire que les points $ E $, $ M $ et $ N $ sont alignés.
Corrigé
$\ $
- Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :
$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 5 - 4 \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $
De même, les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{CD} $ sont :
$ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 7 - 1 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} $
On remarque que $ \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB} $ ; les vecteurs $ \overrightarrow{CD} $ et $ \overrightarrow{AB} $ sont colinéaires donc les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles.
Par conséquent, $ ABDC $ est un trapèze. Notons $ (x_E~;~y_E) $ les coordonnées du point $ E $.
$ E $ le symétrique de $ C $ par rapport à $ A $, par conséquent $ A $ est le milieu de $ [EC] $.
Les coordonnées du milieu de $ [EC] $ sont $ \left(\dfrac{x_E+x_C}{2}~;~\dfrac{y_E+y_C}{2}\right) $, c'est à dire $ \left(\dfrac{x_E+1}{2}~;~\dfrac{y_E+1}{2}\right) $.
Les coordonnées de $ A $ sont $ (2~;~4) $ ; $ A $ est donc le milieu de $ [EC] $ si et seulement si :
$ \begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E+1=4 \\ y_E+1=8\end{cases} $
$ \phantom{\begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases}} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E=3 \\ y_E=7\end{cases} $
Le point $ E $ a donc pour coordonnées $ (3~;~7) $.
- Le milieu de $ [ED] $ a pour coordonnées :
$ \left(\dfrac{x_E+x_D}{2}~;~\dfrac{y_E+y_D}{2}\right) =\left(\dfrac{3+7}{2}~;~\dfrac{7+3}{2}\right) =(5~;~5). $
Le milieu de $ [ED] $ est donc le point $ B. $ -
Les coordonnées du milieu $ M $ de $ [AB] $ sont $ \left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) =\left(\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{9}{2}\right). $
Les coordonnées du milieu $ N $ de $ [CD] $ sont $ \left(\dfrac{x_C+x_D}{2}~;~\dfrac{y_C+y_D}{2}\right) =\left(4~;~2\right). $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{EM} $ sont alors :
$ \begin{pmatrix} x_M - x_E\\y_M - y_E \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{7}{2} - 3\\ \\ \dfrac{9}{2} - 7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \\ - \dfrac{5}{2} \end{pmatrix} $
et les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{EN} $ : $ \begin{pmatrix} x_N - x_E\\y_N - y_E \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 2 - 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ - 5 \end{pmatrix} . $
On remarque que $ \overrightarrow{EN}=2\overrightarrow{EM} $, donc les vecteurs $ \overrightarrow{EN} $ et $ \overrightarrow{EM} $ sont colinéaires et les points $ E, M $ et $ N $ sont alignés. ( La relation $ \overrightarrow{EN}=2\overrightarrow{EM} $ montre également que $ M $ est le milieu de $ [EN] $.)