Pourcentages : Taux d’augmentation
- André a placé une somme de 1 000 euros à intérêts composés, pendant deux ans. Au bout des deux ans, son capital est égal à 1 265 euros. Marie lui dit que son capital a augmenté de 26,5%.
Prouver qu'elle a raison. La première année du placement, le taux était égal à $ t \% $ et la deuxième année, il était égal à $ 1,5 % $ . Paul dit à André que son capital a été multiplié par $ 2.5 t $ et Jérémie prétend qu'il a été multiplié par :
$ \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{1,5t}{100}\right) $Qui a raison et pourquoi ?
a. Montrer que $ t $ est solution de l'équation :
$ 3t^2+500t-5300=0 $b. Vérifier que pour tout réel $ t $ :
$ (t-10)(3t+530) = 3t^2+500t-5300 $c. En déduire la valeur de $ t $.
Corrigé
Le montant du capital après deux ans est de 1 265 euros.
Le montant initial est de 1 000 euros.
Le coefficient multiplicateur est :
$ CM = \dfrac{1265}{1000} = 1,265 $Ce qui correspond à une augmentation de $ (1,265 - 1) \times 100 = 26,5 \% $.
Marie a donc raison.
Lorsqu'une grandeur subit deux évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $ t \% $ est $ 1 + \dfrac{t}{100} $.
Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $ 1,5t \% $ est $ 1 + \dfrac{1,5t}{100} $.
Le coefficient multiplicateur global est donc :
$ CM = \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{1,5t}{100}\right) $C'est Jérémie qui a raison. Paul a additionné les taux, ce qui est une erreur classique (les pourcentages ne s'additionnent pas).
a. On cherche $ t $ tel que l'évolution globale corresponde à une hausse de 26,5% (donc un coefficient multiplicateur de 1,265).
On doit résoudre l'équation :
$ \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{1,5t}{100}\right) = 1,265 $Développons :
$ 1 + \dfrac{1,5t}{100} + \dfrac{t}{100} + \dfrac{1,5t^2}{10000} = 1,265 $$ 1 + \dfrac{2,5t}{100} + \dfrac{1,5t^2}{10000} = 1,265 $En multipliant tout par 10 000 pour éliminer les dénominateurs :
$ 10000 + 250t + 1,5t^2 = 12650 $
$ 1,5t^2 + 250t + 10000 - 12650 = 0 $
$ 1,5t^2 + 250t - 2650 = 0 $
On peut multiplier par 2 pour avoir des coefficients entiers :
$ 3t^2 + 500t - 5300 = 0 $
b. Développons l'expression donnée :
$ (t-10)(3t+530) = 3t^2 + 530t - 30t - 5300 $
$ (t-10)(3t+530) = 3t^2 + 500t - 5300 $
On retrouve bien l'expression de l'équation précédente.
c. Résoudre $ 3t^2 + 500t - 5300 = 0 $ revient à résoudre l'équation produit-nul :
$ (t-10)(3t+530) = 0 $
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
$ t-10 = 0 $ ou $ 3t+530 = 0 $
$ t = 10 $ ou $ 3t = -530 \iff t = -\dfrac{530}{3} $
Comme $ t $ est un taux d'augmentation, il doit être positif. La seule solution convenable est donc $ t = 10 $.
Le taux de la première année était de 10 %.