Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash\left\{ – 1\right\}$ par :
$f\left(x\right)=\dfrac{4x^{2} – x – 2}{x+1}+1$
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Ecrire $f\left(x\right)$ sous la forme d’un quotient.
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Dresser le tableau du signe de $f\left(x\right)$.
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Résoudre l’inéquation $\dfrac{4x^{2} – x – 2}{x+1} > – 1$
Corrigé
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On réduit au même dénominateur :
$f\left(x\right)=\dfrac{4x^{2} – x – 2}{x+1}+1=\dfrac{4x^{2} – x – 2}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+1}=\dfrac{4x^{2} – 1}{x+1}$
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On peut factoriser le numérateur qui est une identité remarquable du type $a^2 – b^2=(a – b)(a+b)$
$f\left(x\right)=\dfrac{\left(2x – 1\right)\left(2x+1\right)}{x+1}$
On obtient le tableau de signes suivant :
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$\dfrac{4x^{2} – x – 2}{x+1} > – 1 \Leftrightarrow \dfrac{4x^{2} – x – 2}{x+1}+1 > 0 \Leftrightarrow f\left(x\right) > 0$
On lit l’ensemble des solutions sur le tableau précédent:
$S=\left] – 1; – \dfrac{1}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{1}{2}; +\infty \right[$