Tableau de variations et extremums

Soit la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ [ - 1~;~8] $ dont la courbe représentative est tracée ci-dessous :

Dresser le tableau de variations de la fonction $ f $.
Déterminer le maximum et le minimum de $ f $. Pour quelles valeurs de $ x $ ces extremums sont-ils atteints ?
Pour chacune des questions ci-dessous, indiquer si l'affirmation est juste ou fausse. Justifier.
1. Pour tout $ x \in [ - 1~;~8] $, $ f(x) \geqslant - 3 $
2. Pour tout $ x \in [ - 1~;~8] $, $ f(x) \leqslant 4 $
3. Pour tout $ x \in [1~;~4] $, $ f(x) \leqslant 0 $
4. Pour tout $ x \in [ - 1~;~2] $, $ f(x) \geqslant 0 $

Corrigé

Solution rédigée par Abi.

Dresser le tableau de variations de la fonction f
Déterminer le maximum et le minimum de f. Pour quelles valeurs de x ces extremums sont-ils atteints ?

Le maximum de f est 5. Il est atteint pour x=1.

Le minimum de f est -3. Il est atteint pour x=8.
Pour chacune des questions ci-dessous, indiquer si l'affirmation est juste ou fausse. Justifier.

a) Pour tout $ x \in [ - 1~;~8] $, $ f(x) \geqslant - 3 $ : VRAI car sur cet intervalle, tous les minimums locaux de Cf sont situés à f(4) = -2 pour l'un et à f(8) = -3 pour le deuxième; avec f(-1) = 2 tous les x de cet intervalle ont une image supérieure ou égale à -3

b) Pour tout $ x \in [ - 1~;~8] $, $ f(x) \leqslant 4 $ : FAUX: car f(1) = 5 > 4

c) Pour tout $ x \in [1~;~4] $, $ f(x) \leqslant 0 $ : FAUX: car f(1) = 5 > 0

d) Pour tout $ x \in [ - 1~;~2] $, $ f(x) \geqslant 0 $ : VRAIcar tous les x de cet intervalle ont une image située au-dessus de l'axe des abscisses sur le plan.