Signe d'un quotient - Inéquation

Étudier le signe du quotient $ \dfrac{5 - 2x}{2x - 1}. $
En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $ \dfrac{5 - 2x}{2x - 1} \leqslant 0 $

Corrigé

Le quotient est défini lorsque $ 2x - 1\neq 0 $ c'est à dire $ x\neq \dfrac{1}{2}. $

On étudie le signe du numérateur $ 5 - 2x $ et du dénominateur $ 2x - 1 $ en utilisant la règle qui donne le signe de $ ax+b $

On obtient le tableau de signes suivant :
A partir du tableau, on obtient l'ensemble des solutions de l'inéquation $ \dfrac{5 - 2x}{2x - 1} \leqslant 0 ~: $

$ S=\left] - \infty ; \dfrac{1}{2}\right[ \cup \left[\dfrac{5}{2} ; +\infty \right[ $

Le crochet est ouvert en $ \dfrac{1}{2} $ car $ \dfrac{1}{2} $ est une « valeur interdite » et fermé en $ \dfrac{5}{2} $ car $ \dfrac{5 - 2x}{2x - 1} $ s'annule en $ \dfrac{5}{2} $ (et l'inéquation est donc alors vérifiée puisque $ 0 \leqslant 0 $).