Coordonnées et médianes
Dans un repère orthonormal du plan on considère les points $ A, B $ et $ C $ de coordonnées $ A(1;1) , B(2;5) $ et $ C(9;3) $.
Soit $ G(x;y) $ un point du plan tel que $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} $.
- Déterminer en fonction de $ x $ et de $ y $ les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{GA} $, $ \overrightarrow{GB} $ et $ \overrightarrow{GC} $.
- Traduire l'égalité $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} $ par deux équations d'inconnues $ x $ et $ y $. En déduire les coordonnées de $ G $.
- On note $ M, N, P $ les milieux respectifs des segments $ [AB], [BC] $ et $ [AC] $. Calculer les coordonnées des points $ M, N, P $.
- Montrer que les points $ A, G $ et $ N $ sont alignés ainsi que les points $ B, G, P $ et les points $ C, G, M $.
- Que représente le point $ G $ pour le triangle $ ABC $?
Corrigé
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{GA} $ sont $ \begin{pmatrix}x_A - x_G \\ y_A - y_G\end{pmatrix} $ Les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{GA} $, $ \overrightarrow{GB} $ et $ \overrightarrow{GC} $ sont :
$ \overrightarrow{GA}\begin{pmatrix}1 - x \\ 1 - y\end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{GB}\begin{pmatrix}2 - x \\ 5 - y\end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{GC}\begin{pmatrix}9 - x \\ 3 - y\end{pmatrix} $
On obtient les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} $ en faisant la somme des coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{GA} $, $ \overrightarrow{GB} $ et $ \overrightarrow{GC} $ :
$ (1 - x)+(2 - x)+(9 - x)=12 - 3x $
$ (1 - y)+(5 - y)+(3 - y)=9 - 3y $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} $ sont donc $ \begin{pmatrix}12 - 3x \\ 9 - 3y\end{pmatrix} $
Le vecteur $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} $ est égal au vecteur nul si et seulement si ses coordonnées sont nulles donc si et seulement si :
$ \begin{cases} 12 - 3x=0 \\ 9 - 3y=0 \end{cases} $
On obtient donc $ x=\dfrac{12}{3}=4 $ et $ y=\dfrac{9}{3}=3 $.
Les coordonnées du point $ G $ sont donc $ G(4;3) $
Le milieu $ M $ de $ [AB] $ a pour coordonnées :
$ M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) $
$ M\left(\dfrac{1+2}{2}~;~\dfrac{1+5}{2}\right) $
$ M\left(\dfrac{3}{2}~;~3\right) $
Un calcul analogue donne :
$ N\left(\dfrac{11}{2}~;~4\right) $
$ P\left(5~;~2\right) $
Pour montrer que les points $ A, G $ et $ N $ sont alignés on va montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{AG} $ et $ \overrightarrow{AN} $ sont colinéaires.
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AG} $ sont :
$ \overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}4 - 1 \\ 3 - 1\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AN} $ sont :
$ \overrightarrow{AN}\begin{pmatrix}\dfrac{11}{2} - 1 \\ \\ 4 - 1\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{AN}\begin{pmatrix}\dfrac{9}{2} \\ \\ 3\end{pmatrix} $
Rappel
Pour montrer que les vecteurs $ \vec{u}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} $ et $ \vec{v}\begin{pmatrix}x ^{\prime} \\ y ^{\prime}\end{pmatrix} $ sont colinéaires on peut montrer que $ xy^{\prime} - x^{\prime}y=0 $
$ 3 \times 3 - \dfrac{9}{2} \times 2=9 - 9=0 $
donc les vecteurs $ \overrightarrow{AG} $ et $ \overrightarrow{AN} $ sont colinéaires. Les points $ A, G, N $ sont donc alignés.
Les autres alignements se démontrent de manière similaire :
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{BG} $ sont :
$ \overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}4 - 2 \\ 3 - 5\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}2 \\ - 2\end{pmatrix} $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{BP} $ sont :
$ \overrightarrow{BP}\begin{pmatrix}5 - 2 \\ 2 - 5\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{BP}\begin{pmatrix}3 \\ - 3\end{pmatrix} $
$ 2 \times ( - 3) - ( - 2) \times 3 = - 6+6=0 $
donc les vecteurs $ \overrightarrow{BG} $ et $ \overrightarrow{BP} $ sont colinéaires et les points $ B, G, P $ sont alignés.
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{CG} $ sont :
$ \overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}4 - 9 \\ 3 - 3\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{CG}\begin{pmatrix} - 5 \\ 0\end{pmatrix} $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{CM} $ sont :
$ \overrightarrow{CM}\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2} - 9 \\ \\ 3 - 3\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{CM}\begin{pmatrix} - \dfrac{15}{2}\\ \\ 0\end{pmatrix} $
$ - 5 \times 0 - \left( - \dfrac{15}{2}\right) \times 0 =0+0=0 $
donc les vecteurs $ \overrightarrow{CG} $ et $ \overrightarrow{CM} $ sont colinéaires et les points $ C, G, M $ sont alignés.
Puisque $ M, N, P $ sont les milieux des segments $ [AB], [BC] $ et $ [AC] $, les droites $ (AN), (BP) $ et $ (CM) $ sont les médianes du triangle $ ABC $.
D'après la question précédente, le point $ G $ appartient à chacune de ces médianes.
Le point $ G $ est donc le point de concours des médianes c'est à dire le centre de gravité du triangle $ ABC $.