Dans un repère orthonormal du plan on considère les points $A, B$ et $C$ de coordonnées $A(1;1) , B(2;5)$ et $C(9;3)$.
Soit $G(x;y)$ un point du plan tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
-
Déterminer en fonction de $x$ et de $y$ les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{GB}$ et $\overrightarrow{GC}$.
-
Traduire l’égalité $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ par deux équations d’inconnues $x$ et $y$. En déduire les coordonnées de $G$.
-
On note $M, N, P$ les milieux respectifs des segments $[AB], [BC]$ et $[AC]$. Calculer les coordonnées des points $M, N, P$.
-
Montrer que les points $A, G$ et $N$ sont alignés ainsi que les points $B, G, P$ et les points $C, G, M$.
-
Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$?
Corrigé
-
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{GA}$ sont $$\begin{pmatrix}x_A – x_G \\ y_A – y_G\end{pmatrix}$$ Les coordonnées des \vecteurs $\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{GB}$ et $\overrightarrow{GC}$ sont :
$$\overrightarrow{GA}\begin{pmatrix}1 – x \\ 1 – y\end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{GB}\begin{pmatrix}2 – x \\ 5 – y\end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{GC}\begin{pmatrix}9 – x \\ 3 – y\end{pmatrix}$$
-
On obtient \les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$ en faisant la somme des coordonnées des \vecteurs $\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{GB}$ et $\overrightarrow{GC}$ :
$(1 – x)+(2 – x)+(9 – x)=12 – 3x$
$(1 – y)+(5 – y)+(3 – y)=9 – 3y$
Les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$ sont donc $$\begin{pmatrix}12 – 3x \\ 9 – 3y\end{pmatrix}$$
Le \vecteur $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$ est égal au \vecteur \nul si et seulement si ses coordonnées sont \nulles donc si et seulement si :
$$\begin{cases} 12 – 3x=0 \\ 9 – 3y=0 \end{cases}$$
On obtient donc $x=\dfrac{12}{3}=4$ et $y=\dfrac{9}{3}=3$.
Les coordonnées du point $G$ sont donc $G(4;3)$
-
Le milieu $M$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
$M\left(\dfrac{1+2}{2}~;~\dfrac{1+5}{2}\right)$
$M\left(\dfrac{3}{2}~;~3\right)$
Un calcul analogue donne :
$N\left(\dfrac{11}{2}~;~4\right)$
$P\left(5~;~2\right)$
-
Pour montrer que \les points $A, G$ et $N$ sont alignés on va montrer que \les \vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires.
Les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{AG}$ sont :
$$\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}4 – 1 \\ 3 – 1\end{pmatrix}$$ soit $$\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}$$
Les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{AN}$ sont :
$$\overrightarrow{AN}\begin{pmatrix}\dfrac{11}{2} – 1 \\ \\ 4 – 1\end{pmatrix}$$ soit $$\overrightarrow{AN}\begin{pmatrix}\dfrac{9}{2} \\ \\ 3\end{pmatrix}$$
Rappel
Pour montrer que \les \vecteurs $$\vec{u}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$$ et $$\vec{v}\begin{pmatrix}x ^{\prime} \\ y ^{\prime}\end{pmatrix}$$ sont colinéaires on peut montrer que $xy^{\prime} – x^{\prime}y=0$
$3 \times 3 – \dfrac{9}{2} \times 2=9 – 9=0$
donc \les \vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires. Les points $A, G, N$ sont donc alignés.
Les autres alignements se démontrent de manière similaire :
Les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{BG}$ sont :
$$\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}4 – 2 \\ 3 – 5\end{pmatrix}$$ soit $$\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}2 \\ – 2\end{pmatrix}$$
Les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{BP}$ sont :
$$\overrightarrow{BP}\begin{pmatrix}5 – 2 \\ 2 – 5\end{pmatrix}$$ soit $$\overrightarrow{BP}\begin{pmatrix}3 \\ – 3\end{pmatrix}$$
$2 \times ( – 3) – ( – 2) \times 3 = – 6+6=0$
donc \les \vecteurs $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BP}$ sont colinéaires et \les points $B, G, P$ sont alignés.
Les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{CG}$ sont :
$$\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}4 – 9 \\ 3 – 3\end{pmatrix}$$ soit $$\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix} – 5 \\ 0\end{pmatrix}$$
Les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{CM}$ sont :
$$\overrightarrow{CM}\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2} – 9 \\ \\ 3 – 3\end{pmatrix}$$ soit $$\overrightarrow{CM}\begin{pmatrix} – \dfrac{15}{2}\\ \\ 0\end{pmatrix}$$
$- 5 \times 0 – ( – \dfrac{15}{2}) \times 0 =0+0=0$
donc \les \vecteurs $\overrightarrow{CG}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires et \les points $C, G, M$ sont alignés.
-
Puisque $M, N, P$ sont \les milieux des segments $[AB], [BC]$ et $[AC]$, \les droites $(AN), (BP)$ et $(CM)$ sont \les médianes du triangle $ABC$.
D’après la question précédente, \le point $G$ appartient à chacune de ces médianes.
Le point $G$ est donc \le point de concours des médianes c’est à dire \le centre de gravité du triangle $ABC$.