Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation :
$x^2 – 9 \geqslant (x – 3)(3x+7)$
Corrigé
Remarque
Il faut surtout éviter de développer !
On aboutirait alors à une inéquation du second degré que l’on ne saurait pas résoudre (en Seconde….).
Il faut au contraire factoriser puis dresser un tableau de signes.
$x^2 – 9$ se factorise à l’aide de l’identité remarquable : $a^2 – b^2=(a – b)(a+b)$ :
$x^2 – 9 \geqslant (x – 3)(3x+7) \Leftrightarrow (x – 3)(x+3) \geqslant (x – 3)(3x+7)$
On « fait passer » le membre de droite dans le membre de gauche en soustrayant :
$\phantom{x^2 – 9 \geqslant (x – 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x – 3)(x+3) – (x – 3)(3x+7)\geqslant 0$
Enfin on met $x – 3$ en facteur :
$\phantom{x^2 – 9 \geqslant (x – 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x – 3)\left[(x+3) – (3x+7)\right]\geqslant 0$
$\phantom{x^2 – 9 \geqslant (x – 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x – 3)\left(x+3 – 3x – 7\right)\geqslant 0$
$\phantom{x^2 – 9 \geqslant (x – 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x – 3)( – 2x – 4)\geqslant 0$
On étudie ensuite le signe de chacun des facteurs :
-
$x – 3=0 \Leftrightarrow x=3$ et comme le coefficient directeur (égal à $1$) est strictement positif, $x – 3$ est négatif pour $x < 3$ et positif pour $x > 3$.
-
$- 2x – 4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{4}{ – 2} \Leftrightarrow x= – 2$ et comme le coefficient directeur (égal à $- 2$) est strictement négatif, $- 2x – 4$ est positif pour $x < - 2$ et négatif pour $x > – 2$.
On obtient alors le tableau de signes ci-dessous :
$(x – 3)( – 2x – 4)$ est positif ou nul lorsque $x$ est compris (au sens large) entre $- 2$ et $3$.
L’ensemble des solutions est donc $S= [ – 2 ; 3]$.
L’intervalle est fermé car l’égalité est « large » ($\geqslant$).