Formes canonique et factorisée

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=x^{2}+2x – 8$

Donner la forme canonique de $f\left(x\right)$.
Factoriser $f\left(x\right)$.
Parmi les formes développée, canonique et factorisée, choisissez la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes :
1. Calculer $f\left(0\right)$.
2. Résoudre l’équation $f\left(x\right)=0$.
3. Déterminer le sommet de la parabole d’équation $y=x^{2}+2x – 8$.

Corrigé

$x^{2}+2x$ est le début de l’identité remarquable $x^{2}+2x+1=\left(x+1\right)^{2}$

On peut donc écrire :

$f\left(x\right)=x^{2}+2x – 8=x^{2}+2x+1 – 9=\left(x+1\right)^{2} – 9$

Cette dernière expression est la forme canonique de $f$.

Remarque : On peut également trouver ce résultat grâce à la formule $f\left(x\right)=a\left(x – \alpha \right)^{2}+\beta$ (voir Forme canonique).
$f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} – 9=\left(x+1\right)^{2} – 3^{2}$

On utilise alors l’identité remarquable :$a^{2} – b^{2}=\left(a+b\right)\left(a – b\right)$ :

$f\left(x\right)=\left[\left(x+1\right)+3\right]\left[\left(x+1\right) – 3\right]=\left(x+4\right)\left(x – 2\right)$
1. La forme développée est ici la plus adaptée :
  
  $f\left(0\right)=0^{2}+2\times 0 – 8= – 8$
2. La forme factorisée est la plus adaptée ; elle conduit à une équation produit :
  
  $\left(x+4\right)\left(x – 2\right)=0 \Leftrightarrow x+4=0$ ou $x – 2=0 \Leftrightarrow x= – 4$ ou $x=2$
3. La forme canonique est la plus appropriée ici :
  
  $\left(x+1\right)^{2}$ est toujours positif ou nul et s’annule pour $x= – 1$.
  
  Le minimum de $f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} – 9$ est donc atteint pour $x= – 1$ et vaut $f\left( – 1\right)= – 9$.
  
  Le sommet de la parabole d’équation $y=x^{2}+2x – 8$ est donc le point $A\left( – 1 ; – 9\right)$