Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=x^{2} – 4x+3$
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Montrer que pour tout réel $x$ : $f\left(x\right)=\left(x – 2\right)^{2} – 1$
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$f$ admet elle un maximum? un minimum? Si oui lequel.
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Factoriser $f\left(x\right)$. Résoudre l’équation $f\left(x\right)=0$
Corrigé
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$f\left(x\right)=x^{2} – 4x+3=x^{2} – 4x+4 – 1$
$x^{2} – 4x+4$ est une identité remarquable : $x^{2} – 4x+4=\left(x – 2\right)^{2}$
Donc :
$f\left(x\right)=\left(x – 2\right)^{2} – 1$
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$\left(x – 2\right)^{2}$ est positif ou nul pour tout $x \in \mathbb{R}$ donc :
$\left(x – 2\right)^{2} – 1 \geqslant – 1$
Par ailleurs $f\left(2\right)= – 1$ donc $f$ admet un minimum qui vaut $- 1$.
Ce minimum est atteint pour $x=2$.
(Par contre $f$ n’admet pas de maximum)
On pouvait également utiliser le résultat du cours qui dit que le coefficient de $x^{2}$ est positif. Donc la fonction admet un minimum. Ce minimum est atteint pour $x= – \dfrac{b}{2a}=2$ -
$\left(x – 2\right)^{2} – 1$ est une identité remarquable du type $a^{2} – b^{2}$.
$\left(x – 2\right)^{2} – 1=\left[\left(x – 2\right) – 1\right]\left[\left(x – 2\right)+1\right]=\left(x – 3\right)\left(x – 1\right)$
$f\left(x\right)$ est nul si et seulement si $\left(x – 3\right)\left(x – 1\right)=0$
C’est une « équation-produit ». Il y a deux solutions :
$x – 3=0$ c’est à dire $x=3$
$x – 1=0$ c’est à dire $x=1$
L’ensemble des solutions est $S=\left\{1 ; 3\right\}$