Exercices
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Forme canonique – Factorisation
Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3 $
- Montrer que pour tout réel $ x $ : $ f\left(x\right)=\left(x - 2\right)^{2} - 1 $
- $ f $ admet elle un maximum? un minimum? Si oui lequel.
- Factoriser $ f\left(x\right) $. Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=0 $
Corrigé
- $ f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3=x^{2} - 4x+4 - 1 $
$ x^{2} - 4x+4 $ est une identité remarquable : $ x^{2} - 4x+4=\left(x - 2\right)^{2} $
Donc :
$ f\left(x\right)=\left(x - 2\right)^{2} - 1 $ - $ \left(x - 2\right)^{2} $ est positif ou nul pour tout $ x \in \mathbb{R} $ donc :
$ \left(x - 2\right)^{2} - 1 \geqslant - 1 $
Par ailleurs $ f\left(2\right)= - 1 $ donc $ f $ admet un minimum qui vaut $ - 1 $.
Ce minimum est atteint pour $ x=2 $.
(Par contre $ f $ n'admet pas de maximum) On pouvait également utiliser le résultat du cours qui dit que le coefficient de $ x^{2} $ est positif. Donc la fonction admet un minimum. Ce minimum est atteint pour $ x= - \dfrac{b}{2a}=2 $ - $ \left(x - 2\right)^{2} - 1 $ est une identité remarquable du type $ a^{2} - b^{2} $.
$ \left(x - 2\right)^{2} - 1=\left[\left(x - 2\right) - 1\right]\left[\left(x - 2\right)+1\right]=\left(x - 3\right)\left(x - 1\right) $
$ f\left(x\right) $ est nul si et seulement si $ \left(x - 3\right)\left(x - 1\right)=0 $
C'est une "équation-produit". Il y a deux solutions :
$ x - 3=0 $ c'est à dire $ x=3 $
$ x - 1=0 $ c'est à dire $ x=1 $
L'ensemble des solutions est $ S=\left\{1 ; 3\right\} $