Fonction homographique : Vitesses moyennes
Un automobiliste roule pendant une heure sur une route de campagne à la vitesse moyenne de 70 km/h.
Puis, il prend l'autoroute et roule alors, pendant une durée $ t $ ($ t \geqslant 0 $ exprimée en heures), à une vitesse moyenne de 110 km/h.
Pour $ t \geqslant 0 $, on note $ V(t) $ la vitesse moyenne de l'automobiliste sur l'ensemble de son parcours.
- Combien vaut $ V(0) $ ?
- Calculer $ V(1) $ (On pourra d'abord exprimer, en fonction de $ t $ la distance totale parcourue).
- Montrer que, pour tout $ t \geqslant 0 $, $ V(t)=\dfrac{110t+70}{t+1} $.
- Représenter la fonction $ V $ à la calculatrice.
Conjecturer son sens de variation. - Montrer pour tout $ t \geqslant 0 $, $ V(t)=110 - \dfrac{40}{t+1} $.
En déduire que pour tout $ t \geqslant 0 $, $ V(t) \leqslant 110 $. Ce résultat était-il prévisible ? - Sur l'ensemble du trajet, l'automobiliste a roulé à une vitesse moyenne de 100 km/h.
Combien de temps a duré le trajet ? Quelle distance a-t-il parcouru ?
Corrigé
Solution rédigée par Abi.
1- Combien vaut V(0) ? V(0) = 70 km/h
2- Calculer V(1) (On pourra d'abord exprimer, en fonction de t la distance totale parcourue).
Distance totale parcourue sur l'ensemble du trajet :
Vitesse = distance/temps ou durée en heure
Distance = Vitesse [i]temps
La distance totale concerne : distance sur route de campagne (Drc) plus distance sur autoroute (Da);
ainsi, avons-nous pour la distance totale = (Vrc_t) + (Va_t).
Vrc_t = (70_1) / 1 et Va_t = (110_t) / 1
Ainsi la distance totale parcourue en fonction de t = (Vrc_t) + (Va_t) = 70 + 110t.
70 + 110t = vitesse_temps donc à :
70 + 110t = V(t) * (t+1)
Pour t = 1, V(1) = [70+ (110*1)] / (1+1) = 90 km/h est la vitesse moyenne pour 1 heure de parcours.
3-Montrer que, pour t \geqslant 0, V(t)= (110t+70) / (t+1) V(t)= distance totale parcourue / la durée totale en heure ;
le numérateur provient de la question précédente
le dénominateur englobe l'inconnue t et la durée connue qui est 1 ; d'où t + 1.
4- Représenter la fonction V à la calculatrice. Conjecturer son sens de variation.
La fonction semble strictement croissante et tendre vers y = 110 sans jamais vraiment atteindre cette limite.
Ex. : V(100) = [(110 [i]100) + 70] / 100+1 = 109,6
5- Montrer pour t \geqslant 0, V(t)= 110- [40 / (t+1)].
- Pour t \geqslant 0, V(t)= (110t+70) / (t+1) : constat
- Pour t \geqslant 0, 110- [40 / (t+1)] = { 110[/i](t+1) -[40 / (t+1)] } / (t+1)
= (110t +110 - 40) /(t + 1) = (110t + 70) / (t+1).
Ainsi nous obtenons l'égalité : V(t)= (110t+70) / (t+1) = 110- [40 / (t+1)].
En déduire que pour t \geqslant 0, V(t) \leqslant 110. Ce résultat était-il prévisible ?
Dans cette fonction V(t) = 110- [40 / (t+1)], on soustrait le nombre positif 40 / (t+1) à 110, le résultat est donc inférieur ou égal à 110; d'où V(t) \leqslant 110
Ce résultat était prévisible puisque l'automobiliste ne dépasse jamais 110 km/h; nous pouvons aussi le constater dans la représentation graphique de la fonction V .
6- Sur l'ensemble du trajet, l'automobiliste a roulé à une vitesse moyenne de 100 km/h. Combien de temps a duré le trajet ? Quelle distance a-t-il parcouru ? Soit V(t)= (110t+70) / (t+1), V(t) = 100
(110t+70) / (t+1) = 100 ⇔ 110t +70 = [100* (t +1)]
⇔ 110t + 70 - -100 = 0 ⇔ 10t - 30 = 0 ⇔ 10t = 30
soit t = 30 / 10 = 3
Le trajet autoroutier a duré 3 heures. Le trajet total a donc duré 1+3 = 4 heures.
Le conducteur a parcouru une distance totale de : 400 km Soit : 3 h à 110km/h : 3 * 110 = 330 km
1 heure à 70km/h : 1 * 70 = 70 km
70 km + 330 km = 400 km (on retrouve bien une vitesse moyenne de 100 km/h)