Soit la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x+2}$.
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Quel est l’ensemble de définition $\mathscr D_{f}$ de $f$ ?
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Montrer que pour tout $x \in \mathscr D_{f}$ :
$f\left(x\right)=1 – \dfrac{1}{x+2}$
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Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\left] – 2 ; +\infty \right[$ puis sur .$\left] – \infty ; – 2\right[$
$f$ est définie si et seulement si son dénominateur est différent de $0$ . Or :
$x+2 = 0 \Leftrightarrow x = – 2$
L’ensemble de définition de $f$ est donc $D_f = \mathbb{R} \backslash \{ – 2\}$
(on peut également écrire $D_f = ] – \infty ; – 2[ \cup ] – 2 ; + \infty [$)
Calculons $1 – \dfrac{1}{x+2}$ (en réduisant au même dénominateur) :
$1 – \dfrac{1}{x+2}=\dfrac{x+2}{x+2} – \dfrac{1}{x+2}$
$\phantom{1 – \dfrac{1}{x+2}}=\dfrac{x+2 – 1}{x+2}$
$\phantom{1 – \dfrac{1}{x+2}}=\dfrac{x+1}{x+2} = f(x)$
Donc : $f\left(x\right)=1 – \dfrac{1}{x+2}$
Rappel (Définition)
La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $I$ si pour tous réels $x_1$ et $x_2$ appartenant à $I$ tels que $x_1 < x_2$ on a $f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$.
(voir fiche de cours)
Sur l’intervalle $\left] – 2 ; +\infty \right[$
Si $- 2 < x_1 < x_2$ alors :
en ajoutant $2$ à chaque membre :
$0 < x_1 + 2 < x_2 + 2$
en prenant l’inverse des deux derniers membres (on change le sens de l’inégalité car la fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty \right[$) :
$\dfrac{1}{x_1 + 2} > \dfrac{1}{x_2 + 2}$
en multipliant chaque membre par $- 1$ (on change une nouvelle fois le sens de l’inégalité car $- 1$ est négatif) :
$- \dfrac{1}{x_1 + 2} < - \dfrac{1}{x_2 + 2}$
en ajoutant $1$ à chaque membre :
$1 – \dfrac{1}{x_1 + 2} < 1 - \dfrac{1}{x_2 + 2}$
c’est à dire :
$f(x_1) < f(x_2)$
$- 2 < x_1 < x_2$ entraîne $f(x_1) < f(x_2)$ donc $f$ est strictement croissante sur $\left] - 2 ; +\infty \right[$
La démonstration est analogue sur $\left] – \infty ; – 2\right[$.
Le tableau de variation de $f$ est :
