Etude des variations d’une fonction homographique
Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x+2} $.
- Quel est l'ensemble de définition $ \mathscr D_{f} $ de $ f $ ?
- Montrer que pour tout $ x \in \mathscr D_{f} $ :
$ f\left(x\right)=1 - \dfrac{1}{x+2} $ - Montrer que $ f $ est strictement croissante sur $ \left] - 2 ; +\infty \right[ $ puis sur .$ \left] - \infty ; - 2\right[ $
Corrigé
- $ f $ est définie si et seulement si son dénominateur est différent de $ 0 $ . Or :
$ x+2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 $
L'ensemble de définition de $ f $ est donc $ D_f = \mathbb{R} \backslash \{ - 2\} $
(on peut également écrire $ D_f = ] - \infty ; - 2[ \cup ] - 2 ; + \infty [ $) - Calculons $ 1 - \dfrac{1}{x+2} $ (en réduisant au même dénominateur) :
$ 1 - \dfrac{1}{x+2}=\dfrac{x+2}{x+2} - \dfrac{1}{x+2} $
$ \phantom{1 - \dfrac{1}{x+2}}=\dfrac{x+2 - 1}{x+2} $
$ \phantom{1 - \dfrac{1}{x+2}}=\dfrac{x+1}{x+2} = f(x) $
Donc : $ f\left(x\right)=1 - \dfrac{1}{x+2} $ ### Rappel (Définition)
La fonction $ f $ est strictement croissante sur l'intervalle $ I $ si pour tous réels $ x_1 $ et $ x_2 $ appartenant à $ I $ tels que $ x_1 < x_2 $ on a $ f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right) $.
(voir fiche de cours)
Sur l'intervalle $ \left] - 2 ; +\infty \right[ $
Si $ - 2 < x_1 < x_2 $ alors :
en ajoutant $ 2 $ à chaque membre :
$ 0 < x_1 + 2 < x_2 + 2 $
en prenant l'inverse des deux derniers membres (on change le sens de l'inégalité car la fonction inverse est décroissante sur $ \left]0 ; +\infty \right[ $) :
$ \dfrac{1}{x_1 + 2} > \dfrac{1}{x_2 + 2} $
en multipliant chaque membre par $ - 1 $ (on change une nouvelle fois le sens de l'inégalité car $ - 1 $ est négatif) :
$ - \dfrac{1}{x_1 + 2} < - \dfrac{1}{x_2 + 2} $
en ajoutant $ 1 $ à chaque membre :
$ 1 - \dfrac{1}{x_1 + 2} < 1 - \dfrac{1}{x_2 + 2} $
c'est à dire :
$ f(x_1) < f(x_2) $
$ - 2 < x_1 < x_2 $ entraîne $ f(x_1) < f(x_2) $ donc $ f $ est strictement croissante sur $ \left] - 2 ; +\infty \right[ $
La démonstration est analogue sur $ \left] - \infty ; - 2\right[ $.
Le tableau de variation de $ f $ est :
