Pour chacune des fonctions c-dessous :
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donner l’ensemble de définition
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indiquer s’il s’agit d’une fonction homographique
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$f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}$
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$g\left(x\right)=\dfrac{x^{2}+1}{x – 1}$
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$h\left(x\right)=\dfrac{2x+4}{x+2}$
Corrigé
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$f$ est définie si et seulement si $x+1 \neq 0$, c’est à dire $x \neq – 1$. Son ensemble de définition est :
$D_{f}=\mathbb{R} \backslash\left\{ – 1\right\}$
$f$ est de la forme $x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}$ avec $a=0, b=1, c=1\left(\neq 0\right), d=1$ et $ad – bc= – 1 \neq 0$ : donc $f$ est une fonction homographique.
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$g$ est définie lorsque $x – 1 \neq 0$, c’est à dire $x \neq 1$. L’ensemble de définition de $g$ est :
$D_{f}=\mathbb{R} \backslash\left\{1\right\}$
$g$ n’est pas une fonction homographique (à cause du terme $x^{2}$ au numérateur).
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$h$ est définie si et seulement si $x+2 \neq 0$, c’est à dire $x \neq – 2$. Son ensemble de définition est :
$D_{h}=\mathbb{R} \backslash\left\{ – 2\right\}$
$h$ est de la forme $x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}$ mais $ad – bc=0$ donc $h$ n’est pas une fonction homographique.
En fait pour $x \neq – 2$, $h\left(x\right)$ se simplifie :
$h\left(x\right)=\dfrac{2x+4}{x+2}=\dfrac{2\left(x+2\right)}{x+2}=2$
$h$ est donc une fonction constante sur $\mathbb{R} \backslash\left\{ – 2\right\}$.