Fonction homographique – Position de courbes
Soient les fonctions $ f $ et $ g $ définies par :
$ f\left(x\right)=\dfrac{x - 2}{x+1} $
$ g\left(x\right)=\dfrac{3x+2}{x - 1} $
- Quel est l'ensemble de définition de $ f $ ? De $ g $ ?
- A la calculatrice, tracer les courbes représentatives de $ f $ et $ g $.
Lire graphiquement, les solutions de l'équation $ f\left(x\right)=g\left(x\right) $. - Retrouver par le calcul les résultats de la question 2.
- Résoudre graphiquement l'inéquation $ f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) $
- Montrer que sur $ \mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ; 1\right\} $ l'inéquation $ f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) $ est équivalente à :
$ \dfrac{x\left(x+4\right)}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)}\geqslant 0 $
A l'aide d'un tableau de signe, retrouver par le calcul le résultat de la question 4.
Corrigé
- $ f $ est définie si et seulement si :
$ x+1\neq 0 $
$ x\neq - 1 $
Donc $ \mathscr D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\right\} $
$ g $ est définie si et seulement si :
$ x - 1\neq 0 $
$ x\neq 1 $
Donc $ \mathscr D_{g}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\} $ 
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection des 2 courbes. A la calculatrice, on trouve 2 solutions $ x= - 4 $ et $ x=0 $.
- Sur $ \mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ; 1\right\} $ :
$ f\left(x\right) = g\left(x\right) \Leftrightarrow \dfrac{x - 2}{x+1} = \dfrac{3x+2}{x - 1} $
$ \phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow (x - 2)(x - 1)=(x+1)(3x+2) $ ("produit en croix")
$ \phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow x^2 - 3x+2=3x^2+5x+2 $
$ \phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow - 2x^2 - 8x=0 $
On peut mettre $ - 2x $ en facteur:
$ - 2x(x+4)=0 $
C'est une équation "produit" qui a pour solutions :
$ - 2x=0 $ ou $ x+4=0 $
c'est à dire $ x=0 $ ou $ x= - 4 $
On retrouve bien les résultats de la question précédente. - $ f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) $ si et seulement si la courbe de $ f $ est en dessous de la courbe de $ g $
Sur le graphique on voit que $ S=\left] - \infty ; - 4\right] \cup \left] - 1;0\right] \cup \left]1;+\infty \right[ $ $ f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) \Leftrightarrow g\left(x\right) - f\left(x\right) \geqslant 0 $
$ \phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{3x+2}{x - 1} - \dfrac{x - 2}{x+1} \geqslant 0 $
$ \phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{\left(3x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)} - \dfrac{\left(x - 2\right)\left(x - 1\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0 $
$ \phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{3x^{2}+3x+2x+2}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)} - \dfrac{x^{2} - x - 2x+2}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0 $
$ \phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{2x^{2}+8x}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0 $
$ \phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{2x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0 $
Comme 2 est positif l'expression $ \dfrac{2x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} $ est du même signe que $ \dfrac{x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} $
On obtient le tableau suivant :
On retrouve bien que $ g\left(x\right) - f\left(x\right)\geqslant 0 $ a comme ensemble de solutions : $ S=\left] - \infty ; - 4\right] \cup \left] - 1;0\right] \cup \left]1;+\infty \right[ $