Soient les fonctions $f$ et $g$ définies par :
$f\left(x\right)=\dfrac{x – 2}{x+1}$
$g\left(x\right)=\dfrac{3x+2}{x – 1}$
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Quel est l’ensemble de définition de $f$ ? De $g$ ?
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A la calculatrice, tracer les courbes représentatives de $f$ et $g$.
Lire graphiquement, les solutions de l’équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
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Retrouver par le calcul les résultats de la question 2.
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Résoudre graphiquement l’inéquation $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$
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Montrer que sur $\mathbb{R} \backslash\left\{ – 1 ; 1\right\}$ l’inéquation $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ est équivalente à :
$\dfrac{x\left(x+4\right)}{\left(x – 1\right)\left(x+1\right)}\geqslant 0$
A l’aide d’un tableau de signe, retrouver par le calcul le résultat de la question 4.
Corrigé
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$f$ est définie si et seulement si :
$x+1 \neq 0$
$x \neq – 1$
Donc $\mathscr D_{f}=\mathbb{R} \backslash\left\{ – 1\right\}$
$g$ est définie si et seulement si :
$x – 1 \neq 0$
$x \neq 1$
Donc $\mathscr D_{g}=\mathbb{R} \backslash\left\{1\right\}$
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Les solutions sont les abscisses des points d’intersection des 2 courbes. A la calculatrice, on trouve 2 solutions $x= – 4$ et $x=0$.
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Sur $\mathbb{R} \backslash\left\{ – 1 ; 1\right\}$ :
$f\left(x\right) = g\left(x\right) \Leftrightarrow \dfrac{x – 2}{x+1} = \dfrac{3x+2}{x – 1}$
$\phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow (x – 2)(x – 1)=(x+1)(3x+2)$ (« produit en croix »)
$\phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow x^2 – 3x+2=3x^2+5x+2$
$\phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow – 2x^2 – 8x=0$
On peut mettre $- 2x$ en facteur:
$- 2x(x+4)=0$
C’est une équation « produit » qui a pour solutions :
$- 2x=0$ ou $x+4=0$
c’est à dire $x=0$ ou $x= – 4$
On retrouve bien les résultats de la question précédente.
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$f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ si et seulement si la courbe de $f$ est en dessous de la courbe de $g$
Sur le graphique on voit que $S=\left] – \infty ; – 4\right] \cup \left] – 1;0\right] \cup \left]1;+\infty \right[$
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$f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) \Leftrightarrow g\left(x\right) – f\left(x\right) \geqslant 0$
$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{3x+2}{x – 1} – \dfrac{x – 2}{x+1} \geqslant 0$
$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{\left(3x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x – 1\right)\left(x+1\right)} – \dfrac{\left(x – 2\right)\left(x – 1\right)}{\left(x+1\right)\left(x – 1\right)} \geqslant 0$
$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{3x^{2}+3x+2x+2}{\left(x – 1\right)\left(x+1\right)} – \dfrac{x^{2} – x – 2x+2}{\left(x+1\right)\left(x – 1\right)} \geqslant 0$
$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{2x^{2}+8x}{\left(x+1\right)\left(x – 1\right)} \geqslant 0$
$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \dfrac{2x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x – 1\right)} \geqslant 0$
Comme 2 est positif l’expression $\dfrac{2x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x – 1\right)}$ est du même signe que $\dfrac{x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x – 1\right)}$
On obtient le tableau suivant :
On retrouve bien que $g\left(x\right) – f\left(x\right)\geqslant 0$ a comme ensemble de solutions : $S=\left] – \infty ; – 4\right] \cup \left] – 1;0\right] \cup \left]1;+\infty \right[$