Existe-t-il une fonction affine $f$ telle que $f\left( – 1\right)= – 2$, $f\left(3\right)=2$ et $f\left(1\right)=1$ ?
Corrigé
Les égalités $f\left( – 1\right)= – 2$, $f\left(3\right)=2$ et $f\left(1\right)=1$ signifient que la courbe représentative de $f$ passe par les points $A\left( – 1 ; – 2\right), B\left(3 ; 2\right)$ et $C\left(1 ; 1\right)$.
Pour que $f$ soit affine, il est nécessaire que les points $A, B$ et $C$ soient alignés.
Le graphique ci dessous montre que ce n’est pas le cas :
On peut vérifier ce résultat par le calcul, en déterminant les coefficients directeurs des droites $\left(AB\right)$ et $\left(AC\right)$ par exemple.
Le coefficient directeur de la droite $\left(AB\right)$ est (voir Coefficient directeur d’une droite) :
$a = \dfrac{y_{B} – y_{A}}{x_{B} – x_{A}} = \dfrac{2 – \left( – 2\right)}{3 – \left( – 1\right)}=\dfrac{4}{4}=1$
Le coefficient directeur de la droite $\left(AC\right)$ est
$a^{\prime} = \dfrac{y_{C} – y_{A}}{x_{C} – x_{A}} = \dfrac{1 – \left( – 2\right)}{1 – \left( – 1\right)}=\dfrac{3}{2}$
Ces coefficients sont différents donc les droites $\left(AB\right)$ et $\left(AC\right)$ sont distinctes et les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Par conséquent, il n’existe pas de fonction affine vérifiant $f\left( – 1\right)= – 2$, $f\left(3\right)=2$ et $f\left(1\right)=1$.
Remarque Si l’on a déjà étudié le chapitre sur les vecteurs, on peut également montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.