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edit_note Exercices 15 min
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Equations et factorisation

Résoudre dans $ \mathbb{R} $ :

  1. $ x^{2} - 2x+1=\left(x - 1\right)\left(x+2\right) $
  2. $ \left(x - 2\right)\left(1 - x^{2}\right) - \left(x - 1\right)\left(x^{2} - 4\right)=0 $
  3. $ \dfrac{x+1}{2x - 5} - \dfrac{2x - 5}{x+1}=0 $ (on cherchera d'abord sur quel ensemble l'équation est définie) 

Corrigé

  1. $ x^{2} - 2x+1=\left(x - 1\right)\left(x+2\right) $

    $ \left(x - 1\right)^{2}=\left(x - 1\right)\left(x+2\right) $ (identité remarquable)

    $ \left(x - 1\right)^{2} - \left(x - 1\right)\left(x+2\right)=0 $

    $ \left(x - 1\right)\left[\left(x - 1\right) - \left(x+2\right)\right]=0 $ (factorisation de $ \left(x - 1\right) $

    $ - 3\left(x - 1\right)=0 $

    $ x - 1=\dfrac{0}{ - 3} $

    $ x - 1=0 $

    $ x=1 $

    L'ensemble des solutions est $ S=\left\{1\right\} $
  2. $ \left(x - 2\right)\left(1 - x^{2}\right) - \left(x - 1\right)\left(x^{2} - 4\right)=0 $

    $ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right)\left(1+x\right) - \left(x - 1\right)\left(x - 2\right)\left(x+2\right)=0 $ (identités remarquables)

    Comme $ - \left(x - 1\right)=1 - x $ :

    $ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right)\left(1+x\right)+\left(1 - x\right)\left(x - 2\right)\left(x+2\right)=0 $

    $ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right)\left[\left(1+x\right)+\left(x+2\right)\right]=0 $ (factorisation de $ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right) $

    $ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right)\left(2x+3\right)=0 $

    $ x - 2=0 $ ou $ 1 - x=0 $ ou $ 2x+3=0 $

    $ x=2 $ ou $ x=1 $ ou $ x= - \dfrac{3}{2} $

    L'ensemble des solutions est $ S=\left\{ - \dfrac{3}{2} ; 1 ; 2\right\} $
  3. $ \dfrac{x+1}{2x - 5} - \dfrac{2x - 5}{x+1}=0 $

    L'équation est définie si $ 2x - 5\neq 0 $ et $ x+1\neq 0 $ donc si $ x\neq \dfrac{5}{2} $ et $ x\neq - 1 $

    On réduit ensuite au même dénominateur :

    $ \dfrac{\left(x+1\right)^{2}}{\left(2x - 5\right)\left(x+1\right)} - \dfrac{\left(2x - 5\right)^{2}}{\left(2x - 5\right)\left(x+1\right)}=0 $

    $ \dfrac{\left(x+1\right)^{2} - \left(2x - 5\right)^{2}}{\left(2x - 5\right)\left(x+1\right)}=0 $

    Une fraction est nulle si et seulement son numérateur est nul :

    $ \left(x+1\right)^{2} - \left(2x - 5\right)^{2}=0 $

    $ \left[\left(x+1\right)+\left(2x - 5\right)\right]\left[\left(x+1\right) - \left(2x - 5\right)\right]=0 $ (identité remarquable du type $ a^{2} - b^{2} $)

    $ \left(3x - 4\right)\left( - x+6\right)=0 $

    $ 3x - 4=0 $ ou $ - x+6=0 $

    $ x=\dfrac{4}{3} $ ou $ x=6 $

    On vérifie bien que ces solutions ne correspondent pas à des valeurs "interdites". Donc, l'ensemble des solutions est $ S=\left\{\dfrac{4}{3} ; 6\right\} $