Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
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$x^{2} – 2x+1=\left(x – 1\right)\left(x+2\right)$
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$\left(x – 2\right)\left(1 – x^{2}\right) – \left(x – 1\right)\left(x^{2} – 4\right)=0$
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$\dfrac{x+1}{2x – 5} – \dfrac{2x – 5}{x+1}=0$ (on cherchera d’abord sur quel ensemble l’équation est définie)
Corrigé
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$x^{2} – 2x+1=\left(x – 1\right)\left(x+2\right)$
$\left(x – 1\right)^{2}=\left(x – 1\right)\left(x+2\right)$ (identité remarquable)
$\left(x – 1\right)^{2} – \left(x – 1\right)\left(x+2\right)=0$
$\left(x – 1\right)\left[\left(x – 1\right) – \left(x+2\right)\right]=0$ (factorisation de $\left(x – 1\right)$)
$- 3\left(x – 1\right)=0$
$x – 1=\dfrac{0}{ – 3}$
$x – 1=0$
$x=1$
L’ensemble des solutions est $S=\left\{1\right\}$
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$\left(x – 2\right)\left(1 – x^{2}\right) – \left(x – 1\right)\left(x^{2} – 4\right)=0$
$\left(x – 2\right)\left(1 – x\right)\left(1+x\right) – \left(x – 1\right)\left(x – 2\right)\left(x+2\right)=0$ (identités remarquables)
Comme $- \left(x – 1\right)=1 – x$ :
$\left(x – 2\right)\left(1 – x\right)\left(1+x\right)+\left(1 – x\right)\left(x – 2\right)\left(x+2\right)=0$
$\left(x – 2\right)\left(1 – x\right)\left[\left(1+x\right)+\left(x+2\right)\right]=0$ (factorisation de $\left(x – 2\right)\left(1 – x\right)$)
$\left(x – 2\right)\left(1 – x\right)\left(2x+3\right)=0$
$x – 2=0$ ou $1 – x=0$ ou $2x+3=0$
$x=2$ ou $x=1$ ou $x= – \dfrac{3}{2}$
L’ensemble des solutions est $S=\left\{ – \dfrac{3}{2} ; 1 ; 2\right\}$
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$\dfrac{x+1}{2x – 5} – \dfrac{2x – 5}{x+1}=0$
L’équation est définie si $2x – 5 \neq 0$ et $x+1 \neq 0$ donc si $x \neq \dfrac{5}{2}$ et $x \neq – 1$
On réduit ensuite au même dénominateur :
$\dfrac{\left(x+1\right)^{2}}{\left(2x – 5\right)\left(x+1\right)} – \dfrac{\left(2x – 5\right)^{2}}{\left(2x – 5\right)\left(x+1\right)}=0$
$\dfrac{\left(x+1\right)^{2} – \left(2x – 5\right)^{2}}{\left(2x – 5\right)\left(x+1\right)}=0$
Une fraction est nulle si et seulement son numérateur est nul :
$\left(x+1\right)^{2} – \left(2x – 5\right)^{2}=0$
$\left[\left(x+1\right)+\left(2x – 5\right)\right]\left[\left(x+1\right) – \left(2x – 5\right)\right]=0$ (identité remarquable du type $a^{2} – b^{2}$)
$\left(3x – 4\right)\left( – x+6\right)=0$
$3x – 4=0$ ou $- x+6=0$
$x=\dfrac{4}{3}$ ou $x=6$
On vérifie bien que ces solutions ne correspondent pas à des valeurs « interdites ». Donc, l’ensemble des solutions est $S=\left\{\dfrac{4}{3} ; 6\right\}$