Compléter chacune des lignes ci-dessous à l’aide d’un des symboles $\in$, $\subset$, $\notin$ ou $\cancel{\subset}$ :
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$\quad \pi \; \ldots \; \mathbb{Q}$
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$\quad \mathbb{Z} \; \ldots \; \mathbb{Q}$
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$\quad \mathbb{R} \; \ldots \; \mathbb{Z}$
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$\quad – \dfrac{6}{12} \; \ldots \; \mathbb{D}$
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$\quad – \dfrac{12}{6} \; \ldots \; \mathbb{Z}$
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$\quad \left\{\sqrt{3}\right\} \; \ldots \; \mathbb{R}$
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$\quad \left\{ – 1~;~0~;~1\right\} \; \ldots \; \mathbb{N}$
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$\quad \mathbb{R}^\star \; \ldots \; \mathbb{R}$
Corrigé
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$\pi \; \notin \; \mathbb{Q}$
$\pi$ est un nombre irrationnel (il ne peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers). Donc il n’appartient pas à l’ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels.
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$\mathbb{Z} \; \subset \; \mathbb{Q}$
Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres rationnels. L’ensemble $\mathbb{Z}$ est donc inclus dans l’ensemble $\mathbb{Q}$. On met le signe $\subset$ et non $\in$ car $\mathbb{Z}$ est un ensemble et non un nombre.
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$\mathbb{R} \; \cancel{\subset} \; \mathbb{Z}$
Tous les nombres réels ne sont pas des entiers relatifs (par exemple $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\pi$,$\ldots$ ne sont pas entiers). Donc l’ensemble $\mathbb{R}$ n’est pas inclus dans $\mathbb{Z}$.
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$- \dfrac{6}{12} \; \in \; \mathbb{D}$
$- \dfrac{6}{12}= – \dfrac{1}{2}= – 0,5$ est un nombre décimal. Il appartient donc à l’ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux.
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$- \dfrac{12}{6} \; \in \; \mathbb{Z}$
$- \dfrac{12}{6}= – 2$ est un nombre entier relatif. Il appartient donc à l’ensemble $\mathbb{Z}$ des nombres entiers relatifs.
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$\left\{\sqrt{3}\right\} \; \subset \; \mathbb{R}$
À cause des accolades, $\left\{\sqrt{3}\right\}$ représente un ensemble. C’est un ensemble qui contient uniquement le nombre réel $\sqrt{3}$. Cet ensemble est donc inclus dans $\mathbb{R}$ (« inclus » et non « appartient » car il s’agit d’un ensemble).
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$\left\{ – 1~;~0~;~1\right\} \; \cancel{\subset} \quad \mathbb{N}$
L’ensemble $\left\{ – 1~;~0~;~1\right\}$ contient le nombre $- 1$ qui n’est pas un entier naturel. Il n’est donc pas inclus dans l’ensemble $\mathbb{N}.$
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$\mathbb{R}^\star \; \subset \; \mathbb{R}$
L’ensemble $\mathbb{R}^\star$ est l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception de 0. Cet ensemble est donc inclus dans $\mathbb{R}.$