Déterminer l’ensemble de définition des fonctions ci-dessous :
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$f\left(x\right)=\sqrt{\left(x+1\right)\left(3x+2\right)}$
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$f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^{2}+1}$
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$f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x^{2} – 4}$
Corrigé
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$f$ est définie si et seulement si $\left(x+1\right)\left(3x+2\right)\geqslant 0$
On dresse le tableau de signe :
L’ensemble de définition est :
$\mathscr D_{f} = \left] – \infty ; – 1\right] \cup \left[ – \dfrac{2}{3} ; +\infty \right[$
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$f$ est définie si et seulement si $x^{2}+1 \neq 0$
Or $x^{2}$ est un carré donc il est positif ou nul quel que soit $x$.
Donc $x^{2}+1$ est toujours supérieur ou égal à $1$ et ne peut jamais s’annuler.
Il n’y a donc pas de valeurs interdites.
$\mathscr D_{f} =\mathbb{R}$
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$f$ est définie si et seulement si $x^{2} – 4 \neq 0$
On reconnaît une identité remarquable : $x^{2} – 4=\left(x – 2\right)\left(x+2\right)$.
Par conséquent, $x^{2} – 4 \neq 0$ si et seulement si $x \neq – 2$ et $x \neq 2$
$\mathscr D_{f} =\mathbb{R} \backslash\left\{ – 2 ; 2\right\}$