On a programmé une fonction nommée hasard(), censée retourner le nombre $0$ dans 50% des cas et le nombre $1$ dans les autres cas.
Pour tester cette fonction, on utilise un programme basé sur l’algorithme suivant :
variable
somme: nombre
début algorithme
// initialisation
somme ← 0
// traitement
pour i variant de 1 à 10 000
somme ← somme + hasard()
fin pour
// sortie
écrire "Le nombre 1 a été généré " somme " fois"
fin algorithme
-
Expliquer le fonctionnement de l’algorithme ci-dessus.
-
L’exécution de l’algorithme retourne le message « Le nombre 1 a été généré 4947 fois ». Peut-on en déduire une anomalie pour la fonction hasard()?
Corrigé
-
-
somme ← 0 : initialise la variable somme à 0.
-
pour i variant de 1 à 10 000 : on effectue une boucle 10 000 fois.
-
somme ← somme + hasard() : on ajoute le résultat de la fonction hasard() à la variable somme.
La variable somme ne sera pas modifiée si hasard() renvoie zéro. Elle sera incrémentée de 1 lorsque hasard() retourne 1.
La variable somme va donc compter le nombre de fois où la fonction hasard() retourne « 1 ».
-
écrire « Le nombre 1 a été généré » somme « fois » : On affiche le résultat stocké dans la variable somme.
Si la fonction hasard() fonctionne correctement, le nombre affiché devrait avoisiner
$10 000\times \dfrac{50}{100}=5 000$
-
-
On souhaite que la proportion de chiffres « 1 » retournés avoisine les 50% (soit une proportion de 0,5).
L’algorithme effectue 10 000 tests de la fonction hasard().
On a bien : $0,2 \leqslant 0,5 \leqslant 0,8$ et $10 000\geqslant 25$
L’intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 est donc :
$I=\left[0,5 – \dfrac{1}{\sqrt{10000}} ; 0,5+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}\right]=\left[0,49 ; 0,51\right]$
Le message retourné par l’algorithme indique une proportion de résultats « 1 » égale à
$\dfrac{4947}{10000}=0,4947$.
Ce nombre appartient bien à l’intervalle $I$.
Aucune anomalie n’a donc été détectée par l’algorithme.