Compléter le tableau ci-dessous avec les symboles $\in$ ou $\notin$ :
| $\mathbb{N}$ | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{D}$ | $\mathbb{Q}$ | $\mathbb{R}$ | |
| $- 2$ | $\notin$ | $\in$ | |||
| $\dfrac{6}{3}$ | |||||
| $\sqrt{3}$ | |||||
| $- \dfrac{3}{5}$ | |||||
| $\dfrac{5}{7}$ | |||||
| $\left(\sqrt{2} – 1\right)^2$ | |||||
| $\left(\sqrt{3} – \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$ |
Par exemple : $- 2 \notin \mathbb{N}$ et $- 2 \in \mathbb{Z}.$
Corrigé
| $\mathbb{N}$ | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{D}$ | $\mathbb{Q}$ | $\mathbb{R}$ | |
| $- 2$ | $\notin$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ |
| $\dfrac{6}{3}$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ |
| $\sqrt{3}$ | $\notin$ | $\notin$ | $\notin$ | $\notin$ | $\in$ |
| $- \dfrac{3}{5}$ | $\notin$ | $\notin$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ |
| $\dfrac{5}{7}$ | $\notin$ | $\notin$ | $\notin$ | $\in$ | $\in$ |
| $\left(\sqrt{2} – 1\right)^2$ | $\notin$ | $\notin$ | $\notin$ | $\notin$ | $\in$ |
| $\left(\sqrt{3} – \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ |
Explications :
-
Les ensembles de nombres sont placés en ordre croissant ; donc lorsqu’un nombre appartient à un ensemble, il appartient nécessairement aux ensembles suivants.
-
Tous les nombres présents sont des nombres réels.
-
$\dfrac{6}{3}=2 \in \mathbb{N}$
-
$\sqrt{3}$ n’est pas un nombre rationnel donc $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$ ; par contre, comme tous les autres nombres de ce tableau, $\sqrt{3} \in \mathbb{R}.$
-
$- \dfrac{3}{5}= – 0,6 \in \mathbb{D}.$
-
$\dfrac{5}{7}$ n’est pas un nombre décimal car son écriture décimale est illimitée.
-
$\left(\sqrt{2} – 1\right)^2$ se développe grâce à l’identité remarquable :
$(a – b)^2 = a^2 – 2ab+b^2$
On obtient alors :
$\left(\sqrt{2} – 1\right)^2= \sqrt{2}^2 – 2\sqrt{2}+1^2$$=2 – 2\sqrt{2}+1=3 – 2\sqrt{2}$
Ce n’est pas un nombre rationnel car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
-
$\left(\sqrt{3} – \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$ se développe grâce à l’identité remarquable :
$(a – b)(a+b) = a^2 – b^2$
Cela donne ici :
$\left(\sqrt{3} – \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)= \sqrt{3}^2 – \sqrt{2}^2$$=3 – 2=1 \in \mathbb{N}$