Exercices
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Différents types de nombres
Compléter le tableau ci-dessous avec les symboles $ \in $ ou $ \notin $ :
| $ \mathbb{N} $ | $ \mathbb{Z} $ | $ \mathbb{D} $ | $ \mathbb{Q} $ | $ \mathbb{R} $ |
|---|---|---|---|---|
| $ - 2 $ | $ \notin $ | $ \in $ | ||
| $ \dfrac{6}{3} $ | ||||
| $ \sqrt{3} $ | ||||
| $ - \dfrac{3}{5} $ | ||||
| $ \dfrac{5}{7} $ | ||||
| $ \left(\sqrt{2} - 1\right)^2 $ | ||||
| $ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) $ |
Par exemple : $ - 2 \notin \mathbb{N} $ et $ - 2 \in \mathbb{Z}. $
Corrigé
| $ \mathbb{N} $ | $ \mathbb{Z} $ | $ \mathbb{D} $ | $ \mathbb{Q} $ | $ \mathbb{R} $ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $ - 2 $ | $ \notin $ | $ \in $ | $ \in $ | $ \in $ | $ \in $ |
| $ \dfrac{6}{3} $ | $ \in $ | $ \in $ | $ \in $ | $ \in $ | $ \in $ |
| $ \sqrt{3} $ | $ \notin $ | $ \notin $ | $ \notin $ | $ \notin $ | $ \in $ |
| $ - \dfrac{3}{5} $ | $ \notin $ | $ \notin $ | $ \in $ | $ \in $ | $ \in $ |
| $ \dfrac{5}{7} $ | $ \notin $ | $ \notin $ | $ \notin $ | $ \in $ | $ \in $ |
| $ \left(\sqrt{2} - 1\right)^2 $ | $ \notin $ | $ \notin $ | $ \notin $ | $ \notin $ | $ \in $ |
| $ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) $ | $ \in $ | $ \in $ | $ \in $ | $ \in $ | $ \in $ |
Explications :
- Les ensembles de nombres sont placés en ordre croissant ; donc lorsqu'un nombre appartient à un ensemble, il appartient nécessairement aux ensembles suivants.
- Tous les nombres présents sont des nombres réels.
- $ \dfrac{6}{3}=2 \in \mathbb{N} $
- $ \sqrt{3} $ n'est pas un nombre rationnel donc $ \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} $ ; par contre, comme tous les autres nombres de ce tableau, $ \sqrt{3} \in \mathbb{R}. $
- $ - \dfrac{3}{5}= - 0,6 \in \mathbb{D}. $
- $ \dfrac{5}{7} $ n'est pas un nombre décimal car son écriture décimale est illimitée.
$ \left(\sqrt{2} - 1\right)^2 $ se développe grâce à l'identité remarquable :
$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab+b^2 $On obtient alors :
$ \left(\sqrt{2} - 1\right)^2= \sqrt{2}^2 - 2\sqrt{2}+1^2 =2 - 2\sqrt{2}+1=3 - 2\sqrt{2} $
Ce n'est pas un nombre rationnel car $ \sqrt{2} $ est irrationnel.
$ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) $ se développe grâce à l'identité remarquable :
$ (a - b)(a+b) = a^2 - b^2 $Cela donne ici :
$ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)= \sqrt{3}^2 - \sqrt{2}^2 =3 - 2=1 \in \mathbb{N} $