Soient $f$ la fonction carrée, définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right) = x^{2}$ et $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
On note $A$ et $B$ les points de la courbe représentative de $f$ d’abscisses respectives $- a$ et $b$ et $M \left(0 ; m\right)$ le point d’intersection de la droite $\left(AB\right)$ avec l’axe des ordonnées.
Calculer $m$ en fonction de $a$ et $b$.
Corrigé
Les coordonnées de $A$ sont $\left( – a ; \left( – a\right)^{2}\right)=\left( – a ; a^{2}\right)$
Les coordonnées de $B$ sont $\left(b ; b^{2}\right)$
Le coefficient directeur de la droite $\left(AB\right)$ est :
$\alpha =\dfrac{y_{B} – y_{A}}{x_{B} – x_{A}}=\dfrac{b^{2} – a^{2}}{b+a}=b – a$
La droite $\left(AB\right)$ a donc une équation du type :
$y=\left(b – a\right)x+\beta$
Pour trouver $\beta$ :
La droite $\left(AB\right)$ passe par le point $A\left( – a ; a^{2}\right)$ donc l’équation ci-dessus est vérifiée si on remplace $x$ par $- a$ et $y$ par $a^{2}$ :
$a^{2}=\left(b – a\right)\times \left( – a\right)+\beta$
$a^{2}= – ab+a^{2}+\beta$
$a^{2}+ab – a^{2}=\beta$
$\beta =ab$
L’équation de la droite $\left(AB\right)$ est donc : $y=\left(b – a\right)x+ab$
Le point $M$ a pour abscisse 0. Son ordonnée est donc :
$m=\left(b – a\right)\times 0+ab=ab$
On obtient ainsi une « table de multiplication graphique » (voir figure ci-dessus pour $2\times 3$)
[ Remarque : On peut utiliser le crible de Matiiassevitch pour rechercher les nombres premiers en donnant à $a$ et $b$ des valeurs entières (voir : Le crible géométrique de Matiiassevitch) ]