Calcul littéral : Simplification de fractions

Pour la question b. de ces exercices, la méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur et à simplifier par le(s) facteur(s) commun(s) au numérateur et au dénominateur.

1. $ A=\dfrac{x^2 - 4}{(x - 1)(x+2)} $

   1. La fraction $ A $ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul.
      
      Or :
      
      $ (x - 1)(x+2)=0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \text{ ou } x+2=0 $
      
      $ \phantom{(x - 1)(x+2)=0} \Leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x= - 2. $
      
      Donc l'ensemble de définition de $ A $ est $ \mathscr{D}_A=\mathbb{R} \backslash \{ - 2~;~1\}. $
   2. On factorise le numérateur à l'aide de l'identité remarquable $ a^2 - b^2=(a - b)(a+b) $ :
      
      $ x^2 - 4=(x - 2)(x+2) $
      
      Par conséquent pour tout réel $ x \in \mathscr{D}_A~: $
      
      $ A=\dfrac{(x - 2)(x+2)}{(x - 1)(x+2)} = \dfrac{x - 2}{x - 1} $
   3. La fraction simplifiée est définie si et seulement si $ x \neq 1 $ donc sur $ \mathbb{R} \backslash \{~1\}. $

2. $ B=\dfrac{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}{x^2+2x+1} $

   1. Le dénominateur se factorise grâce à l'identité remarquable $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2~: $
      
      $ x^2+2x+1=(x+1)^2 $
      
      Le dénominateur est différent de zéro si et seulement si $ x \neq - 1 $ donc $ \mathscr{D}_B=\mathbb{R} \backslash \{ - 1\}. $
   2. On peut mettre $ (x+1) $ en facteur au numérateur :
      
      $ (x+1)(x - 5)+(x+1)^2=(x+1)\left[(x - 5)+(x+1)\right] $
      
      $ \phantom{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}=(x+1)(2x - 4). $
      
      Par conséquent, pour tout réel $ x \in \mathscr{D}_B $ :
      
      $ B=\dfrac{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}{(x+1)^2} $
      
      $ \phantom{B}=\dfrac{(x+1)(2x - 4)}{(x+1)^2} $
      
      $ \phantom{B}=\dfrac{2x - 4}{x+1}. $
   3. L'ensemble de définition de la fraction simplifiée est encore $ \mathbb{R} \backslash \{ - 1\}. $

3. $ C=\dfrac{x^4 - 1}{(x - 1)(2x+1)} $

   1. Le dénominateur est non nul si et seulement si $ x \neq 1 $ et $ x \neq - \dfrac{1}{2}. $. Donc $ \mathscr{D}_C=\mathbb{R} \backslash \left\{ - \dfrac{1}{2}~;~1\right\}. $
   2. $ x^4 - 1 $ se factorise de la manière suivante  :
      
      $ x^4 - 1=(x^2)^2 - 1^2=(x^2 - 1)(x^2+1) =(x - 1)(x+1)(x^2+1). $
      
      Remarque : $ x^2+1 $ ne peut pas être factorisé dans $ \mathbb{R}. $
      
      On en déduit que :
      
      $ C=\dfrac{(x - 1)(x+1)(x^2+1)}{(x - 1)(2x+1)} = \dfrac{(x+1)(x^2+1)}{2x+1} $
   3. La fraction simplifiée est définie sur l'ensemble $ \mathbb{R} \backslash \left\{ - \dfrac{1}{2} \right\}. $