1. Expérience aléatoire
Définition
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
On le note en général $\Omega $.
Définition
Soit une expérience aléatoire d’univers $\Omega $.
Chacun des résultats possibles s’appelle une éventualité (ou un événement élémentaireou une issue).
On appelle événement tout sous ensemble de $\Omega $.
Un événement est donc constitué de zéro, une ou plusieurs éventualités.
Exemple
Le lancer d’un dé à six faces est une expérience aléatoire d’univers :
$\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$
- L’ensemble $E_1=\left\{2;4;6\right\}$ est un événement. En français, cet événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »
- L’ensemble $E_2=\left\{1;2;3\right\}$ est un autre événement. Ce second événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est strictement inférieur à 4 »
Ces événements peuvent être représentés par un diagramme de Venn :
Définition
- l’événement impossible est la partie vide, noté $\varnothing $, lorsque aucune issue ne le réalise.
- l’événement certain est $\Omega $, lorsque toutes les issues le réalisent.
- l’événement contraire de $A$ noté $\overline A$ est l’ensemble des éventualités de $\Omega $ qui n’appartiennent pas à $A$.
- l’événement $A \cup B$ (lire « $A$ union $B$ » ou « $A$ ou $B$ ») est constitué des éventualités qui appartiennent soit à $A$, soit à $B$, soit aux deux ensembles.
- l’événement $A \cap B$ (lire « $A$ inter $B$ » ou « $A$ et$B$ ») est constitué des éventualités qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$.
Exemple
On reprend l’exemple précédent avec :
$\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$
$E_1=\left\{2;4;6\right\}$
$E_2=\left\{1;2;3\right\}$
- L’événement « obtenir un nombre supérieur à 7 » est l’ événement impossible.
- L’événement « obtenir un nombre entier » est l’ événement certain.
-
$\overline{E}_{1}=\left\{1; 3; 5\right\}$ : cet événement peut se traduire par « le résultat est un nombre impair » :
-
$E_{1} \cup E_{2}=\left\{1; 2; 3; 4; 6\right\}$ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair ou strictement inférieur à 4 » :
-
$E_{1} \cap E_{2}=\left\{2\right\}$ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair et strictement inférieur à 4 » :
Définition
On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si $A \cap B=\varnothing$
Deux événements sont incompatibles lorsqu’aucun événement ne les réalise simultanément.
Remarque
Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires.
Exemple
« Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles.
2. Probabilités
Définition
La probabilité d’un événement élémentaire est un nombre réel tel que:
- Ce nombre est compris entre 0 et 1
- La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l’univers vaut 1
Propriété
- $p\left(\varnothing\right)=0$
- $p\left(\Omega \right)=1$
- $p\left(\overline A\right)=1 – p\left(A\right)$
Exemple
On lance un dé à six faces. On note $S$ l’événement : « obtenir un $6$. On suppose que le dé est bien équilibré et que la probabilité de $S$ est de $\dfrac{1}{6}$. La probabilité d’obtenir un résultat différent de $6$ est alors :
$p\left(\overline S\right)=1 – p\left(S\right)=1 – \dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$
Théorème
Quels que soient les événements $A$ et $B$ de $\Omega $ :
$p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) – p\left(A \cap B\right)$
En particulier, si $A$ et $B$ sont incompatibles :
$p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)$
Définition
Deux événements qui ont la même probabilité sont dits équiprobables.
Lorsque tous les événements élémentaires sont équiprobables, on dit qu’il y a équiprobabilité.
Exemple
Un lancer d’un dé non truqué est une situation d’équiprobabilité.
Propriété
On suppose que l’univers est composé de $n$ événements élémentaires
- Dans le cas d’équiprobabilité, chaque événement élémentaire a pour probabilité : $\dfrac{1}{n}$
- Si un événement $A$ de $ \Omega $ est composé de $m$ événements élémentaires, alors $P\left(A\right)=\dfrac{m}{n}$.
Exemple
On reprend l’exemple du lancer d’un dé avec $E_1$ : « le résultat du dé est un nombre pair »
$P\left(E_1\right)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$