I – Les ensembles de nombres
Définition
$\mathbb{N}=\left\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; \cdots \right\}$ est l’ensemble des entiers naturels.
Remarque
On emploie le signe $ \in $ pour indiquer qu’un nombre appartient à un ensemble. On écrira par exemple: $2\in \mathbb{N}$ et $\dfrac{2}{3} \notin \mathbb{N}$.
Définition
$\mathbb{Z}= \left\{\cdots; – 3; – 2 ; – 1; 0; 1; 2; 3; \cdots \right\}$ est l’ensemble des entiers relatifs.
Définition
$\mathbb{D}$ est l’ensemble des nombres décimaux. Les nombres décimaux peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (1; 10; 100; 1 000; …).
Ils peuvent aussi s’écrire sous forme décimale dont le nombre de chiffres après la virgule est fini.
Remarque
- « fini » signifie ici « qui n’est pas infini ».
- Les calculatrices les plus simples ne manipulent que des nombres décimaux pour effectuer les calculs. Certaines permettent des opérations sur les fractions. Quelques modèles plus avancés (effectuant du « calcul formel ») peuvent également effectuer des calculs avec des nombres irrationnels.
Définition
$\mathbb{Q}$ est l’ensemble des nombres rationnels. Les nombres rationnels peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers relatifs.
Définition
$\mathbb{R}$ est l’ensemble des nombres réels. Les nombres réels sont tous les nombres connus (en Seconde…).
Remarque
Les nombres réels qui ne sont pas rationnels (comme $\pi $ ou $\sqrt{2}$ ) sont appelés des nombres irrationnels.
Propriété
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Remarque
- Le symbole $ \subset $ se lit « inclus dans ».
- La proposition précédente signifie que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs qui sont eux-mêmes des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels.
- Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s’écrire 2,0 (écriture décimale) $\dfrac{2}{1}$ ou $\dfrac{4}{2}$ etc. (écriture fractionnaire) $\sqrt{4}$ (écriture avec un radical) et même (aussi curieux que cela puisse vous paraitre) 1,999999…. (écriture décimale illimitée).
II – Intervalles
Intervalles bornés
Définition
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $ a < b $.
- L’intervalle fermé $ \left[ a~;~b \right] $ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $ a \leqslant x \leqslant b. $
- L’intervalle ouvert $ \left] a~;~b \right[ $ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $ a < x < b. $
- L’intervalle $ \left[ a~;~b \right[ $ (fermé en $a$, ouvert en $b$) est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $ a \leqslant x < b. $
- L’intervalle $ \left] a~;~b \right] $ (ouvert en $a$, fermé en $b$) est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $ a < x \leqslant b.$
Exemple
Par exemple, l’intervalle $ \left[ – 2~;~3 \right[ $ est constitué des nombres réels qui sont à la fois supérieur ou égal à $ – 2$ et strictement inférieur à $3$.
On pourra, par exemple, écrire :
- $ – 3 \notin \left[ – 2~;~3 \right[ $
- $ – 2 \in \left[ – 2~;~3 \right[ $
- $ 0 \in \left[ – 2~;~3 \right[ $
- $ 3 \notin \left[ – 2~;~3 \right[ $
- $ 4 \notin \left[ – 2~;~3 \right[ $
On peut représenter l’intervalle $ \left[ – 2~;~3 \right[ $ de la façon suivante :
Intervalles non bornés
Définition
Soit $a$ un nombre réel.
- L’intervalle $\left[ a~;~+\infty \right[ $ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $ x \geqslant a. $
- L’intervalle $\left] a~;~+\infty \right[ $ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $ x > a. $
- L’intervalle $\left] – \infty~;~a \right] $ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $ x \leqslant a. $
- L’intervalle $\left] – \infty~;~a \right[ $ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $ x < a. $
Remarque
En $ +\infty $ et en $ – \infty $, le crochet est toujours ouvert.
Exemple
- $ 0 \notin \left[ 1~;~ +\infty \right[ $
- $ 1 \in \left[ 1~;~ +\infty \right[ $
- $ 100 \in \left[ 1~;~ +\infty \right[ $
On représente l’intervalle $ \left[ 1~;~ +\infty \right[ $ ainsi :
Union et intersection
Définition
Soient $I$ et $J$ deux intervalles.
- L’intersection de $I$ et de $J$ notée $ I \cap J $ (lire « $I$ inter $J$ » ) est l’ensemble des nombres appartenant à la fois à $I$ et à $J$.
- L’union (ou la réunion de $I$ et de $J$ notée $ I \cup J $ (lire « $I$ union $J$ » ) est l’ensemble des nombres appartenant à $I$ ou à $J$ ou aux deux intervalles.
Remarque
Retenir que l’intersection correspond au mot « et » et que la réunion correspond au mot « ou ».
Exemple
Si $ I = \left[ – 3~;~1 \right[ $ et $ J= \left[ 0~;~3 \right] $, $I$ est représenté en bleu et $J$ en rouge sur la figure suivante :
$ I \cap J = \left[ 0~;~1 \right[ $ et $ I \cup J = \left[ – 3~;~3 \right] $
III – Valeurs absolues
Intuitivement, la valeur absolue d’un nombre c’est « le nombre sans son signe. ». Par exemple, la valeur absolue de $ – 5 $ est $5$ et la valeur absolue de $ 1,12 $ est $ 1,12 $. Toutefois, lors de calculs littéraux, le signe peut être « caché » à l’intérieur de la lettre ; par exemple, on ne peut pas dire que la valeur absolue de $ – x $ est égale à $ x $ car c’est faux si $x$ est négatif. D’où la définition suivante :
Définition
Soit $x$ un nombre réel
On appelle valeur absolue de $x$ et on note $ |x|$ le nombre réel positif ou nul défini par
- $|x|$ = $x$ si $x$ est positif ou nul,
- $|x|$ = $ – x$ si $x$ est négatif ou nul.
Exemple
- $| – 1 | = – ( – 1) = 1$
- $| \sqrt{ 2 } – 1 | = \sqrt{ 2 } – 1$ car $ \sqrt{ 2 } > 1 $ donc $ \sqrt{ 2 } – 1 $ est positif.
Propriété
La distance entre les nombres réels $x$ et $y$ est égale à $|y – x|$ (ou aussi à $|x – y|$).
En particulier, $ \left| x \right| $ est la distance de $x$ à $0$.
Exemple
Les nombres $ – 3 $ et $2$ sont représentés sur l’axe ci-dessous :
La distance entre $ – 3 $ et $ 2 $ est égale à :
$| – 3 – 2|=| – 5|=5$
La distance entre $ – 3 $ et $ 0 $ est égale à :
$| – 3|=3$
Ensembles et Intervalles : Les 5 questions incontournables
#### 1. Comment déterminer le plus petit ensemble de nombres usuels ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$) auquel appartient un nombre ?
Il est indispensable de simplifier l’écriture du nombre au maximum avant de conclure.
- Ne vous fiez pas à l’apparence : une fraction peut cacher un nombre entier (ex: $\dfrac{10}{2} = 5 \in \mathbb{N}$).
- Un nombre peut appartenir à plusieurs ensembles, mais on cherche toujours le « plus petit » (celui qui est le plus restrictif).
Voir la fiche méthode : Identifier l’ensemble d’un nombre
#### 2. Comment traduire une inégalité en un intervalle ?
La conversion dépend essentiellement du sens des crochets, qui est dicté par le signe de l’inégalité :
- Inégalité stricte ($<$ ou $>$) : Le crochet est ouvert (tourné vers l’extérieur). La valeur n’est pas comprise.
- Inégalité large ($\leqslant$ ou $\geqslant$) : Le crochet est fermé (tourné vers l’intérieur). La valeur est comprise.
Exemple : $x \geqslant 3$ devient l’intervalle $\left\lbrack 3; +\infty \right\lbrack$.
Voir la fiche méthode : Traduire inégalités et intervalles
#### 3. Comment représenter l’intersection ($\cap$) ou l’union ($\cup$) de deux intervalles ?
La méthode visuelle est la plus sûre : dessinez une droite graduée et coloriez chaque intervalle d’une couleur différente.
- Intersection ($\cap$) : C’est la zone où les deux couleurs se superposent (ce qui est commun aux deux).
- Union ($\cup$) : C’est la zone recouverte par au moins une des couleurs (tout ce qui a été colorié).
Voir la fiche méthode : Union et intersection d’intervalles
#### 4. Comment résoudre une équation de type $|x – a| = r$ ?
Pensez « distance » ! Géométriquement, $|x – a|$ représente la distance entre le point $x$ et le point $a$. On cherche donc les points situés exactement à une distance $r$ du centre $a$.
- Il y a généralement deux solutions : une à droite ($a + r$) et une à gauche ($a – r$).
Voir la fiche méthode : Equations avec valeur absolue
#### 5. Comment résoudre une inéquation de type $|x – a| \leqslant r$ ?
Cela revient à chercher tous les points dont la distance au centre $a$ est plus petite que le rayon $r$.
- Graphiquement : C’est tout le segment centré en $a$ et de rayon $r$.
- Résultat : Cela correspond à l’intervalle $[a-r; a+r]$.
Voir la fiche méthode : Inéquations avec valeur absolue