1. La fonction inverse
Définition
La fonction inverse est la fonction définie sur $\left] – \infty ; 0\right[ \cup \left]0; +\infty \right[$ par : $x \mapsto \dfrac{1}{x}$.
Sa courbe représentative est une hyperbole.
L’hyperbole représentant la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$
Théorème
La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Théorème
La fonction inverse est strictement décroissante sur $\left] – \infty ; 0\right[$ et sur $\left]0; +\infty \right[$.
Tableau de variation de la fonction « inverse »
Exemple d’application
On veut comparer les nombres $\dfrac{1}{\pi }$ et $\dfrac{1}{3}$.
On sait que $\pi > 3$
Comme les nombres $3$ et $\pi $ sont strictement positifs et que la fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0; +\infty \right[$ on en déduit que $\dfrac{1}{\pi } < \dfrac{1}{3}$
2. Fonctions homographiques
Définition
Soient $a, b, c, d$ quatre réels avec $c\neq 0$ et $ad – bc\neq 0$.
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\left\{ – \dfrac{d}{c}\right\}$ par :
$f\left(x\right)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
s’appelle une fonction homographique.
La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole.
Remarque
- La valeur « interdite » $ – \dfrac{d}{c}$ est celle qui annule le dénominateur.
- Si $ad – bc=0$, la fraction se simplifie et dans ce cas la fonction $f$ est constante sur son ensemble de définition. Par exemple $f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{4x+2}=\dfrac{2x+1}{2\times \left(2x+1\right)}=\dfrac{1}{2}$ sur $\mathbb{R}\backslash\left\{ – \dfrac{1}{2}\right\}$
Exemple
La fonction $f $ telle que :
$f\left(x\right)=\dfrac{3x + 2}{x + 1}$
est définie pour $x+1 \neq 0$ c’est à dire $x \neq – 1$.
Son ensemble de définition est donc :
$\mathscr D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{ – 1\right\} $( ou $ \mathscr D_f =\left] – \infty ; – 1\right[ \cup \left] – 1 ; +\infty \right[$)
Elle est strictement croissante sur chacun des intervalles $\left] – \infty ; – 1\right[$ et $\left] – 1 ; +\infty \right[$ (pour cet exemple ; ce n’est pas le cas pour toutes les fonctions homographiques !).
Tableau de variations de $f~:~x \longmapsto \dfrac{3x + 2}{x + 1} $
Courbe représentative de $f~:~x \longmapsto \dfrac{3x + 2}{x + 1} $