1. Notion de fonction
Définition
Une fonction $f$ est un procédé qui à tout nombre réel $x$ d’une partie $D$ de $\mathbb{R}$ associe un seulnombre réel $y$.
- $x$ s’appelle la variable.
- $y$ s’appelle l’image de $x$ par la fonction $f$ et se note $f\left(x\right)$
- $f$ est la fonction et se note: $f : x \mapsto y=f\left(x\right)$.
Remarque
Les procédés permettant d’associer un nombre à un autre nombre peuvent être :
- des formules mathématiques (par exemple : $f\left(x\right)=\dfrac{1}{1+x^2}$
- une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d’une action en Bourse en fonction du temps)
- un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d’un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)
- un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne
- une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant
- etc.
Méthode (Calcul d’une image)
Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction définie par une formule on remplace $x$ par ce nombre dans l’expression de $f\left(x\right)$
Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=\dfrac{x^2+3}{x+1}$
-
Pour calculer l’image de $1$ – notée $f\left(1\right)$ – on remplace $x$ par $1$ dans la formule donnant $f\left(x\right)$. On obtient alors :
$f\left(1\right)=\dfrac{1^2+3}{1+1}=\dfrac{4}{2}=2$
-
Pour calculer l’image de $ – 2$, on remplace $x$ par $\left( – 2\right)$ dans cette même formule. Pensez bien à ajouter une parenthèse lorsque $x$ est négatif ou lorsqu’il s’agit d’une expression fractionnaire. On obtient :
$f\left( – 2\right)=\dfrac{\left( – 2\right)^2+3}{\left( – 2\right)+1}=\dfrac{7}{ – 1}= – 7$
Définition
L’ensemble $\mathscr D$ des éléments $x$ de $\mathbb{R}$ qui possèdent une image par $f$ s’appelle l’ensemble de définition de $f$.
On dit également que $f$ est définie sur $\mathscr D$
Remarque
Certaines fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$ en entier. Parfois, cependant, l’ensemble de définition est plus petit. C’est en particulier le cas:
- s’il est impossible de calculer $f\left(x\right)$ pour certaines valeurs de $x$ (par exemple la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ n’est pas définie pour $x=0$ car il est impossible de diviser par zéro
- si la fonction n’a aucune signification pour certaines valeurs de $x$; par exemple la fonction donnant l’aire d’un carré en fonction de la longueur $x$ de ses côtés n’a pas de sens pour $x$ négatif.
Définition
Soit $y$ un nombre réel. Les antécédents de $y$ par $f$ sont les nombres réels $x$ appartenant à $\mathscr D$ tels que $f\left(x\right)=y$. Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).
Méthode (Calcul des antécédents)
Pour déterminer les antécédents d’un nombre $y$, on résout l’équation $f\left(x\right)=y$ d’inconnue $x$.
Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=\dfrac{x+5}{x+1}$
Pour déterminer le ou les antécédents du nombre $2$ on résout l’équation $f\left(x\right)=2$ c’est à dire :
$\dfrac{x+5}{x+1}=2$
On obtient alors :
$x+5=2\left(x+1\right)$ (« produit en croix »)
$x+5=2x+2$
$x – 2x=2 – 5$
$ – x= – 3$
$x=3$
Le nombre $2$ possède un unique antécédent qui est $x=3$.
2. Représentation graphique
Dans cette section, on munit le plan $\mathscr P$ d’un repère orthogonal $\left(O, i, j\right)$
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathscr D$.
Lareprésentation graphique de $f$ est la courbe $\mathscr C_f $ formée des points $M\left(x;y\right)$ où $x\in \mathscr D$ et $y=f\left(x\right)$
On dit aussi que la courbe $\mathscr C_f $ a pour équation $y=f\left(x\right)$.
Exemple
Exemple de représentation graphique d’une fonction définie sur [-1;1]
Remarque
Du fait qu’un nombre ne peut pas avoir plusieurs images, la courbe représentative d’une fonction ne peut pas contenir plusieurs points situés sur la même « verticale » (droite parallèle à l’axe des ordonnées).
Par contre, il peut très bien y avoir plusieurs points situés sur une même horizontale comme dans l’exemple ci-dessus.
Lecture graphique de l’image d’un nombre
Pour déterminer graphiquement l’image de $0,5$ par la fonction $f $:
- on place le point de d’abscisse $0,5$ sur l’axe des abscisses
- on le relie au point $M$ de la courbe qui a la même abscisse
- l’ordonnée du point $M$ nous donne la valeur de $f\left(0,5\right)$; on trouve ici environ $0,6$.
Lecture graphique des antécédents d’un nombre
Pour déterminer graphiquement les antécédents de $0,9$ par la fonction $f $:
- on place le point de d’ordonnée $0,9$ sur l’axe des ordonnées
- on trace la droite horizontale (d’équation $y=0,9$) qui passe par ce point
- on trace le(s) point(s) d’intersection de cette droite avec la courbe. Dans cet exemple on en trouve deux ; dans d’autres exemples on pourrait en trouver zéro, un, deux ou plus…
- les abscisses de ces points d’intersection nous donne les antécédents de $0,9$; on trouve ici deux antécédents qui valent environ $0,1$ et $0,95$.
3. Variations d’une fonction
Définition
La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $I$ si pour tous réels $x_1$ et $x_2$ appartenant à $I$ tels que $x_1\leqslant x_2$ on a $f\left(x_1\right)\leqslant f\left(x_2\right)$.
Remarque
Intuitivement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction $f$ « monte » lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses (e.g. de gauche à droite)
Définition
La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $I$ si pour tous réels $x_1$ et $x_2$ appartenant à $I$ tels que $x_1 \leqslant x_2$ on a $f\left(x_1\right) \geqslant f\left(x_2\right)$.
Remarque
Intuitivement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction $f$ « descend » lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses (e.g. de gauche à droite)
Définition
Soit $I$ un intervalle et $x_0 \in I$.
La fonction $f$ admet un maximum en $x_0$ sur l’intervalle $I$ si pour tout réel $x$ de I, $f\left(x\right)\leqslant f\left(x_0\right)$. Le maximum de la fonction $f$ sur $I$ est alors $M=f\left(x_0\right)$
Définition
Soit $I$ un intervalle et $x_0 \in I$.
La fonction $f$ admet un minimum en $x_0$ sur l’intervalle $I$ si pour tout réel $x$ de I, $f\left(x\right)\geqslant f\left(x_0\right)$. Le minimum de la fonction $f$ sur $I$ est alors $m=f\left(x_0\right)$
Remarque
- Un extremum est un maximum ou un minimum
-
Attention à la rédaction :
Lorsqu’on dit que $f$ admet un maximum (resp. minimum) en $x_0$ (ou pour $x=x_0$), $x_0$ correspond à la valeur de la variable $x$ et non à la valeur du maximum (resp. minimum).Par exemple, dans le tableau de l’exemple ci-dessous, $f$ admet un maximum en $0$. Ce maximum est égal à 6 (Ne pas écrire que le maximum est $0$ !).
- Les variations d’une fonction peuvent être représentées par un tableau de variations
Exemple
Soit $f$ une fonction définie sur $\left[ – 2;5\right]$, croissante sur $\left[ – 2;0\right]$ et décroissante sur $\left[0; 5\right]$ avec $f\left( – 2\right)= – 3$, $f\left(0\right)=6$ et $f\left(5\right)=1$
Le tableau de variations de la fonction $f$ est :
