I. La fonction «carré»
Définition
La fonction « carré » est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $x\mapsto x^2$.
Sa courbe représentative est une parabole.
Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété
La fonction carré est strictement décroissante sur $\left] – \infty ; 0\right[$ et strictement croissante sur $\left]0; \infty \right[$. Elle admet en 0 un minimum égal à 0.
Tableau de variations de la fonction carrée
Démonstration
Démontrons par exemple que la fonction carré est décroissante sur $\left] – \infty ; 0\right[$.
Notons $f : x\mapsto x^2$ et soient $x_1$ et $x_2$, deux réels quelconques tels que $x_1 < x_2 < 0$.
Alors :
$f\left(x_1\right) – f\left(x_2\right)=x_1^2 – x_2^2=\left(x_1 – x_2\right)\left(x_1+x_2\right)$
Or $x_1 – x_2 < 0$ car $x_1 < x_2$
et $x_1+x_2 < 0$ car $x_1$ et $x_2$ sont tous les deux négatifs.
Donc le produit $\left(x_1 – x_2\right)\left(x_1+x_2\right)$ est positif.
On en déduit $f\left(x_1\right) – f\left(x_2\right) > 0$ donc $f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right)$
$x_1 < x_2 < 0 \Rightarrow f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right) $, donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left] – \infty ; 0\right[$.
Propriété
Soit $a$ un nombre réel. Dans $\mathbb{R}$, l’équation $x^2=a$
- n’admet aucune solution si $a < 0$
- admet $x=0$ comme unique solution si $a=0$
- admet deux solutions $\sqrt{a}$ et $ – \sqrt{a}$ si $a > 0$
Exemple
- L’équation $x^2=2$ admet deux solutions : $\sqrt{2}$ et $ – \sqrt{2}$.
- L’équation $x^2+1=0$ est équivalente à $x^2= – 1$. Elle n’admet donc aucune solution réelle.
II. Fonctions polynômes du second degré
Définition
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $x\mapsto ax^2+bx+c$.
où $a$,$b$ et $c$ sont des réels appelés coefficients et $a\neq 0$
Sa courbe représentative est une parabole, elle admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
Remarque
Une expression de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ est la forme développée d’un polynôme du second degré.
Une expression de la forme $a\left(x – x_1\right)\left(x – x_2\right)$ avec $a\neq 0$ est la forme factorisée d’un polynôme du second degré.
Théorème
Une fonction polynôme du second degré est :
Si $a > 0$ :
strictement décroissante sur $\left] – \infty ; \dfrac{ – b}{2a}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{ – b}{2a}; +\infty \right[$.
Si $a < 0$ :
strictement croissante sur $\left] – \infty ; \dfrac{ – b}{2a}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{ – b}{2a}; +\infty \right[$.
Tableau de variations d’une fonction polynôme du second degré pour $a > 0$
Tableau de variations d’une fonction polynôme du second degré pour $a < 0$
Exemple
Soit $f\left(x\right)=x^2 – 4x+3$
Courbe représentative de $f~:~x\longmapsto x^2 – 4x+3$
Propriété et définition
Soit $f$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par : $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$
$f\left(x\right)$ peut s’écrire sous la forme :
$f\left(x\right)=a\left(x – \alpha \right)^2+\beta $
avec $\alpha = – \dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f\left(\alpha \right)$
Cette écriture est appelée forme canonique.
$\left(\alpha ; \beta \right)$ sont les coordonnées du sommet de la parabole.
Remarque
Une caractéristique de la forme canonique est que la variable $x$ n’apparaît qu’à un seul endroit dans l’écriture.
Exemple
Reprenons l’exemple $f\left(x\right)=x^2 – 4x+3$
On a $\alpha = – \dfrac{b}{2a}= – \dfrac{ – 4}{2\times 1}=2$
et $\beta =f\left(2\right)=2^2 – 4\times 2+3= – 1$
donc la forme canonique de $f$ est :
$f\left(x\right)=\left(x – 2\right)^2 – 1$