1. Équation réduite d’une droite
Propriété
Une droite du plan peut être caractérisée une équation de la forme :
- $x=c$ si cette droite est parallèle à l’axe des ordonnées (« verticale »)
- $y=mx+p$ si cette droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
Dans le second cas, $m$ est appelé coefficient directeur et $p$ ordonnée à l’origine.
Exemple
Remarque
-
L’équation d’une droite peut s’écrire sous plusieurs formes. Par exemple $y=2x – 1$ est équivalente à $y – 2x+1=0$ ou $2y – 4x+2=0$, etc.
Les formes $x=c$ et $y=mx+p$ sont appelées équation réduite de la droite.
- Cette propriété indique que toute droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.(Voir chapitre Fonctions linéaires et affines)
- Une droite parallèle à l’axe des abscisses a un coefficient direct $m$ égal à zéro. Son équation est donc de la forme $y=p$. C’est la représentation graphique d’une fonction constante.
Propriété
Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $x_A\neq x_B$.
Le coefficient directeur de la droite $\left(AB\right)$ est :
$m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}$
Remarque
Une fois que le coefficient directeur de la droite $\left(AB\right)$ est connu, on peut trouver l’ordonnée à l’origine en sachant que la droite $\left(AB\right)$ passe par le point $A$ donc que les coordonnées de $A$ vérifient l’équation de la droite.
Exemple
On recherche l’équation de la droite passant par les points $A\left(1 ; 3\right)$ et $B\left(3 ; 5\right)$.
Les points $A$ et $B$ n’ayant pas la même abscisse, cette équation est du type $y=mx+p$ avec :
$m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}=\dfrac{5 – 3}{3 – 1}=\dfrac{2}{2}=1$
Donc l’équation de $\left(AB\right)$ est de la forme $y=x+p$. Comme cette droite passe par $A$, l’équation est vérifiée si on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ donc :
$3=1+p$ soit $p=2$.
L’équation de $\left(AB\right)$ est donc $y=x+2$.
2. Droites parallèles – Droites sécantes
Propriété
Deux droites d’équations respectives $y=mx+p$ et $y=m^{\prime}x+p^{\prime}$ sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : $m=m^{\prime}$.
Exemple
Équations de droites parallèles
Méthode
Soient $\mathscr D$ et $\mathscr D^{\prime}$ deux droites sécantes d’équations respectives $y=mx+p$ et $y=m^{\prime}x+p^{\prime}$.
Les coordonnées $\left(x ; y\right)$ du point d’intersection des droites $\mathscr D$ et $\mathscr D^{\prime}$ s’obtiennent en résolvant le système :
$\left\{ \begin{matrix} y=mx+p \\ y=m^{\prime}x+p^{\prime} \end{matrix}\right.$
Remarque
Ce système se résout simplement par substitution. Il est équivalent à :
$\left\{ \begin{matrix} mx+p=m^{\prime}x+p^{\prime} \\ y=mx+p \end{matrix}\right.$
Exemple
On cherche les coordonnées du point d’intersection des droites $\mathscr D$ et $\mathscr D^{\prime}$ d’équations respectives $y=2x+1$ et $y=3x – 1$.
Ces droites n’ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes.
Les coordonnées du point d’intersection vérifient le système :
$\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right.$
qui équivaut à :
$\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+1=3x – 1 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right.$
$\phantom{\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right.} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right.$
$\phantom{\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right.} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=5 \end{matrix}\right.$
Le point d’intersection a pour coordonnées $\left(2 ; 5\right)$.