Vecteurs et cercles sécants

$ \mathscr{C} $ et $ \mathscr{C}^{\prime} $ sont deux cercles de même rayon sécants en deux points distincts $ A $ et $ B $.

$ [AP] $ et $ [BQ] $ sont des diamètres du cercle $ \mathscr{C} $ et $ [AR] $ et $ [BS] $ des diamètres du cercle $ \mathscr{C}^{\prime}. $

Quelle est la nature du quadrilatère $ AJBI $ ?
Justifier votre réponse.
Quelle est la nature du quadrilatère $ ABPQ $ ?
Justifier votre réponse.
Montrer que $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. $
En déduire que $ IPBJ $ est un parallélogramme.
De même, montrer que $ IBRJ $ est un parallélogramme.
Montrer que $ B $ est le milieu de $ [PR]. $

Corrigé

$ [AI] $ et $ [BI] $ sont deux rayons du cercle $ \mathscr{C} $ et $ [AJ] $ et $ [BJ] $ sont deux rayons du cercle $ \mathscr{C}^{\prime} $.

Les deux cercles ayant le même rayon : $ AI=BI=AJ=BJ $. Par conséquent, $ AIBJ $ est un losange.
$ [AP] $ et $ [BQ] $ , les diagonales du quadrilatère $ ABPQ $, sont deux diamètres du cercle $ \mathscr{C} $.

Ces diagonales sont donc de même longueur et elles se coupent en leur milieu.

Par conséquent, $ ABPQ $ est un rectangle.
$ I $ est le milieu du segment $ [AP] $ donc $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. $
$ AJBI $ est un losange donc c'est également un parallélogramme.

Par conséquent : $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ JB }. $

Or, d'après la question précédente $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. $ On en déduit que $ \overrightarrow{ JB } = \overrightarrow{ IP }. $ et donc que $ IPBJ $ est un parallélogramme.

La démonstration est analogue pour $ IBRJ $ :

$ \overrightarrow{ IB } = \overrightarrow{ AJ } = \overrightarrow{ JR }, $

donc $ IBRJ $ est un parallélogramme.
Puisque $ IPBJ $ est un parallélogramme : $ \overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ IJ }. $
Puisque $ IBRJ $ est un parallélogramme : $ \overrightarrow{ BR } = \overrightarrow{ IJ }. $

Par conséquent, $ \overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ BR } $ donc $ B $ est le milieu du segment $ [PR]. $