Montrer que 3 points sont alignés (vecteurs)
Pour montrer que trois points sont alignés on utilise souvent le résultat suivant :
Méthode
Trois points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{ AB } $ et $ \overrightarrow{ AC } $ sont colinéaires.
RAPPELS
Deux vecteurs colinéaires sont deux vecteurs de même direction (mais dont les sens peuvent être différents).
Deux vecteurs $ \overrightarrow{ u } $ et $ \overrightarrow{ v } $ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $ k $ tel que $ \overrightarrow{ u } = k \overrightarrow{ v } $ ou un réel $ k^{\prime} $ tel que $ \overrightarrow{ v } = k^{\prime} \overrightarrow{ u } $.
Soient $ \overrightarrow{ u } \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{ v } \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} $, les vecteurs $ \overrightarrow{ u } $ et $ \overrightarrow{ v } $ sont colinéaires si et seulement si $ xy^{\prime} - yx^{\prime} = 0 $ (produit en croix).
Exemple n°1 (Sans coordonnées)
Soient $ A $, $ B $ et $ C $ trois points du plan.
On considère les points $ M $ et $ N $ définis par :
$ \overrightarrow{ AM } = 3 \overrightarrow{ AB } + 6\overrightarrow{ AC } \ $ et $ \ \overrightarrow{ BN } = 2 \overrightarrow{ AC } $
Montrer que les points $ A, M $ et $ N $ sont alignés.
Solution
Pour montrer que les points $ A, M $ et $ N $ sont alignés, on va montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{ AM } $ et $ \overrightarrow{ AN } $ sont colinéaires.
D'après la relation de Chasles :
$ \overrightarrow{ AN } = \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BN } = \overrightarrow{ AB } + 2 \overrightarrow{ AC } $
or d'après l'énoncé $ \overrightarrow{ AM } = 3 \overrightarrow{ AB } + 6\overrightarrow{ AC } \ $ donc $ \overrightarrow{ AM } = 3 \overrightarrow{ AN } $ par conséquent les vecteurs $ \overrightarrow{ AM } $ et $ \overrightarrow{ AN } $ sont colinéaires.
Les points $ A, M $ et $ N $ sont donc alignés.
Exemple 2 (avec coordonnées)
Soient $ P, Q $ et $ R $ les points de coordonnées $ P( - 1~;~ - 1) ; Q(1~;~0) ; R(5~;~2) $.
Montrer que les points $ P, Q $ et $ R $ sont alignés.
Solution
On va démontrer que les vecteurs $ \overrightarrow{ PQ } $ et $ \overrightarrow{ PR } $ sont colinéaires.
propriete { #p025 }
Rappel
Soient $ A \left( x_A~;~y_A \right) $ et $ B \left( x_B~;~y_B \right) $ deux points du plan. Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{ AB } $ sont :
[Les title="coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{ PQ } $ et $ \overrightarrow{ PR } $ sont :"]
$ \overrightarrow{ PQ } \begin{pmatrix} 1 - ( - 1) =2\\ 0 - ( - 1)=1 \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{ PR } \begin{pmatrix} 5 - ( - 1) =6\\ 2 - ( - 1)=3 \end{pmatrix} $
On remarque que $ \overrightarrow{ PR } = 3 \overrightarrow{ PQ } $ donc les vecteurs $ \overrightarrow{ PQ } $ et $ \overrightarrow{ PR} $ sont colinéaires. Par conséquent, les points $ P, Q $ et $ R $ sont alignés.
[/Les]
Exemple n°3 (Choix d'un repère)
$ ABCD $ est un parallélogramme ; $ I $ est le milieu du segment $ [CD] $ et $ E $ le symétrique de $ A $ par rapport à $ I $.
Montrer que les points $ B, C $ et $ E $ sont alignés.
Solution
Il y a plusieurs manières de résoudre ce problème.
Pour illustrer notre méthode nous allons choisir un repère et effectuer un calcul de coordonnées.
Plaçons nous dans le repère $ (A; \overrightarrow{ AB }, \overrightarrow{ AD } ) $.
Dans ce repère, les coordonnées de $ A, B, C, D, I $ sont :
$ A(0;0) \quad B(1;0) \quad C(1;1) \quad D(0;1) \quad I\left( \dfrac{ 1 }{ 2} ;1\right) $
Par conséquent, $ \overrightarrow{ AI } \begin{pmatrix}\dfrac{ 1 }{ 2 } \\ 1 \end{pmatrix} $.
$ E $ étant le symétrique de $ A $ par rapport à $ I $, $ \overrightarrow{ AE } = 2 \overrightarrow{ AI } $. Les coordonnées de $ \overrightarrow{ AE } $ sont $ \overrightarrow{ AE } \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $ et les coordonnées de $ E $ sont donc $ E(1;2) $.
On en déduit que $ \overrightarrow{ BC } \begin{pmatrix} x_C - x_B=0 \\ y_C - y_B=1 \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{ BE } \begin{pmatrix} x_E - x_B= 0 \\ y_E - y_B=2 \end{pmatrix} $.
$ \overrightarrow{ BE } = 2 \overrightarrow{ BC } $ donc les vecteurs $ \overrightarrow{ BE } $ et $ \overrightarrow{ BC } $ sont colinéaires.
Les points $ B, C $ et $ E $ sont donc alignés.