Retrouver une valeur initiale (prix de départ)
1. Le piège mortel des pourcentages
C'est l'erreur numéro 1 dans les copies de Seconde, et même chez certains adultes !
La situation : Vous connaissez le prix final (après une taxe ou une remise) et le pourcentage d'évolution. Vous cherchez le prix d'avant.
L'erreur à ne JAMAIS commettre
Si un prix a augmenté de $ 20\% $, il ne faut surtout pas enlever $ 20\% $ au prix final pour retrouver le prix de départ.
Pourquoi ça ne marche pas ?
Les pourcentages ne sont pas symétriques.
* $ 20\% $ du prix de départ (qui est petit) représente une certaine somme.
* $ 20\% $ du prix final (qui est plus grand) représente une somme plus importante.
Si vous enlevez $ 20\% $ à la fin, vous enlevez "trop" d'argent et vous tombez plus bas que le départ.
Pour réussir cet exercice à tous les coups, il faut changer de logique : on ne soustrait pas, on divise.
2. La règle d'or : la division par le coefficient multiplicateur
Pour remonter le temps (passer de l'arrivée au départ), il faut inverser l'opération.
* Pour aller du départ ($ V_0 $) vers l'arrivée ($ V_1 $), on MULTIPLIE par le CM.
* Pour aller de l'arrivée ($ V_1 $) vers le départ ($ V_0 $), on DIVISE par le CM.
La formule magique
Il suffit donc de trouver le bon $ CM $ et de faire une division.
Méthode pas à pas : le cas d'une augmentation (TVA, hausse)
Scénario : Un smartphone est vendu 240 € après une augmentation de 20%. Quel était son prix avant ?
Étape 1 : Identifier le sens et calculer le CM
L'énoncé parle d'une augmentation de $ 20\% $.
Le coefficient multiplicateur est donc de la forme $ 1 + \dfrac{t}{100} $.
Étape 2 : Poser la division
Nous cherchons la valeur initiale ($ V_0 $). Nous avons la valeur finale ($ V_1 = 240 $).
Étape 3 : Calculer et conclure
Le prix initial était de 200 €.
Comparaison avec l'erreur classique :
Si vous aviez fait $ 240 - 20\% $, vous auriez calculé $ 240 \times 0,80 = 192\text{ €} $.
C'est faux ! Il manque 8 euros. La méthode de la division est la seule valide.
Méthode pas à pas : le cas d'une diminution (soldes, remise)
Scénario : En période de soldes, un manteau est affiché à 105 € après une remise de 30%. Quel était son prix hors soldes (prix barré) ?
Étape 1 : Calculer le CM (Attention danger !)
C'est une baisse de $ 30\% $. Le CM est inférieur à 1.
Note importante : Le coefficient est $ 0,70 $ (ce qu'il reste à payer), et non pas $ 0,30 $ (ce qu'on économise). Ne vous trompez pas de chiffre !
Étape 2 : Poser la division
On divise le prix payé par le coefficient.
Étape 3 : Calculer
Le prix initial était de 150 €.
5. Comment vérifier son résultat ? (L'autocorrection)
Le jour du contrôle, vous avez un doute ? Il existe une méthode simple pour vérifier si votre résultat est juste.
La méthode de la "boucle" :
Prenez le résultat que vous avez trouvé, et appliquez-lui le pourcentage de l'énoncé (en marche avant). Vous devez retomber pile sur le prix final donné dans l'exercice.
Exemple de vérification (pour le manteau ci-dessus) :
* J'ai trouvé 150 €.
* L'énoncé dit "baisse de 30%".
* Je calcule : $ 150 \times (1 - 0,30) = 150 \times 0,70 = 105 $.
* Je retrouve bien les 105 € de l'énoncé.
Si vous ne retombez pas sur le montant exact, c'est que votre $ CM $ est faux ou que vous avez soustrait le pourcentage au lieu de diviser.
6. Schéma de synthèse à retenir
Visualisez toujours ce schéma dans votre tête avant de toucher la calculatrice :
| Sens du voyage | Opération mathématique | Formule |
|---|---|---|
| Passé $ \rightarrow $ Futur (Prix initial $ \rightarrow $ prix final) | Multiplication | $ V_1 = V_0 \times CM $ |
| Futur $ \rightarrow $ Passé (Prix final $ \rightarrow $ prix initial) | Division | $ V_0 = \dfrac{V_1}{CM} $ |
7. Exercices d'application (corrigés)
Entraînez-vous avec ces trois situations types.
Exercice 1 (classique)
Énoncé :
Le prix de l'essence a augmenté de 5% pour atteindre 1,89 € le litre. Quel était le prix avant cette hausse ?
Correction :
* Hausse de 5% $ \rightarrow CM = 1,05 $.
* On cherche la valeur avant $ \rightarrow $ Division.
* Calcul : $ \dfrac{1,89}{1,05} = 1,80 $.
* Réponse : Le prix était de 1,80 €.
Exercice 2 (soldes)
Énoncé :
Après une deuxième démarque de -50%, une paire de chaussures coûte 32 €. Quel était son prix d'origine ?
Correction :
* Baisse de 50% $ \rightarrow CM = 0,50 $.
* Calcul : $ \dfrac{32}{0,5} = 64 $.
* Réponse : Les chaussures coûtaient 64 €.
(Astuce : Diviser par 0,5 revient à multiplier par 2 !)
Exercice 3 (population)
Énoncé :
La population d'un village a baissé de 2% et compte aujourd'hui 2450 habitants. Combien y avait-il d'habitants avant ?
Correction :
* Baisse de 2% $ \rightarrow CM = 0,98 $.
* Calcul : $ \dfrac{2450}{0,98} = 2500 $.
* Réponse : Il y avait 2500 habitants.
En savoir plus
Le coin des experts : taux réciproque
Si on vous demande : "Quel pourcentage d'évolution faut-il appliquer pour revenir au prix de départ ?", on parle de taux réciproque.
Maintenant que vous avez le prix initial, c'est facile.
Mais vous pouvez aussi le trouver directement avec le CM.
Le coefficient multiplicateur réciproque est $ \dfrac{1}{CM} $.
Exemple : Après une hausse de 25% ($ CM=1,25 $), pour revenir au départ, il faut multiplier par $ \dfrac{1}{1,25} = 0,8 $.
$ CM' = 0,8 $ correspond à une baisse de 20%.
(On confirme bien qu'une hausse de 25% ne se compense pas par une baisse de 25%, mais de 20% !).
En savoir plus
Besoin de plus d'entraînement ?
Vous maîtrisez le retour en arrière ?
Allez voir la fiche méthode suivante : Les évolutions successives
Ou testez-vous avec notre QCM interactif :
QCM : Retrouver la valeur initiale