Méthode
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1ère étape : (facultative mais permet de simplifier les calculs) :
Rechercher l’équation dans laquelle il sera facile d’exprimer $y$ en fonction de $x$, ou $x$ en fonction de $y$.
On supposera, dans l’explication qui suit, que l’on a choisi d’exprimer $y$ en fonction de $x$ dans la première équation.
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2ème étape :
Dans la première équation, exprimer $y$ en fonction de $x$.
Ne pas modifier la seconde équation.
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3ème étape :
Remplacer $y$ par l’expression trouvée précédemment dans la seconde équation.
La seconde équation n’a alors plus qu’une seule inconnue $x.$
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4ème étape :
Résoudre la seconde équation pour trouver $x.$
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5ème étape :
Calculer $y$ en remplaçant $x$, dans la première équation, par la valeur trouvée à l’étape précédente.
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6ème étape :
Conclure en précisant la ou les couple(s) de solution(s).
Remarques
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Pour présenter les calculs, il est préférable de recopier à chaque étape un système équivalent au système de départ en réécrivant les deux équations, y compris celle que l’on n’a pas modifiée.
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Un système admet souvent un unique couple solution mais peut aussi n’avoir aucune solution ou admettre une infinité de solutions (voir exemple 3 et 4).
Exemple 1
Résoudre le système :
$(S_1)~~\begin{cases} 3x+y=2 \\ 5x+2y=3\end{cases}$
Solution :
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1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On remarque qu’ici, il sera particulièrement simple d’exprimer $y$ en fonction de $x$ dans la première équation.
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2ème étape : Expression de $y$ en fonction de $x$.
Il suffit de « faire passer » $3x$ dans l’autre membre dans la première équation ;
on recopie la seconde équation sans y toucher.
$(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 – 3x \\ 5x+2y=3\end{cases}$
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3ème étape : Remplacement de $y$.
On remplace $y$ par $(2 – 3x)$ dans la seconde équation (ne pas oublier la parenthèse !).
On ne touche pas à la première équation.
$(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 – 3x \\ 5x+2(2 – 3x)=3\end{cases}$
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4ème étape : Calcul de $x.$
On résout la seconde équation (en recopiant à chaque fois la première à l’identique).
$(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 – 3x \\ 5x+4 – 6x=3\end{cases}$
$(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 – 3x \\ – x=3 – 4\end{cases}$
$(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 – 3x \\ x=1\end{cases}$
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5ème étape : Calcul de $y.$
On remplace $x$ par $1$ dans la première équation :
$(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 – 3\times 1\\ x=1\end{cases}$
$(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= – 1\\ x=1\end{cases}$
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6ème étape : Conclusion.
Le couple $(1~;~ – 1)$ est l’unique couple solution du système $(S_1)$.
Exemple 2
Résoudre le système :
$(S_1)~~\begin{cases} 5x – 2y=1 \\ x+3y=7\end{cases}$
Solution :
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1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On pourrait, comme dans l’exemple précédent, exprimer $y$ en fonction de $x$ dans la première équation. Toutefois, à cause du coefficient $ – 2$, cela entraînerait des calculs plus longs comportant des fractions (on trouverait $y=\dfrac{ – 1+5x}{2}$).
Il est plus simple, ici, d’exprimer $x$ en fonction de $y$ dans la deuxième équation.
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2ème étape : Expression de $x$ en fonction de $y$.
$(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5x – 2y=1 \\ x=7 – 3y\end{cases}$
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3ème étape : Remplacement de $x$.
On remplace $x$ par $(7 – 3y)$ dans la première équation.
$(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5(7 – 3y) – 2y=1 \\ x=7 – 3y\end{cases}$
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4ème étape : Calcul de $y.$
On résout la première équation.
$(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 35 – 15y – 2y=1 \\ x=7 – 3y\end{cases}$
$(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} – 17y= – 34 \\ x=7 – 3y\end{cases}$
$(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=\dfrac{ – 34}{ – 17} \\ x=7 – 3y\end{cases}$
$(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7 – 3y\end{cases}$
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5ème étape : Calcul de $x.$
On remplace $y$ par $2$ dans la seconde équation :
$(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7 – 3 \times 2\end{cases}$
$(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=1\end{cases}$
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6ème étape : Conclusion.
Le couple $(1~;~2)$ est l’unique solution du système $(S_2)$.
Exemple 3
Résoudre le système :
$(S_3)~~\begin{cases} 6x – 2y=3 \\ – 3x+y=5\end{cases}$
Solution :
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1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
Ici, il est facile d’exprimer $y$ en fonction de $x$ dans la seconde équation.
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2ème étape : Expression de $y$ en fonction de $x$.
$(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x – 2y=3 \\ y=5+3x\end{cases}$
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3ème étape : Remplacement de $y$.
$(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x – 2(5+3x)=3 \\ y=5+3x\end{cases}$
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4ème étape : Calcul de $x.$
$(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x – 10 – 6x=3 \\ y=5+3x\end{cases}$
$(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} – 10=3 \\ y=5+3x\end{cases}$
La première équation n’a pas de solution, donc le système n’en a pas non plus.
On peut donc passer directement à la conclusion :
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6ème étape : Conclusion.
Le système $(S_3)$ n’admet aucune solution dans $\mathbb{R}.$
Exemple 4
Résoudre le système :
$(S_4)~~\begin{cases} 4x – 2y=6 \\ – 6x+3y= – 9\end{cases}$
Solution :
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1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On choisit d’exprimer $y$ en fonction de $x$ dans la première équation.
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2ème étape : Expression de $y$ en fonction de $x$.
$(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} – 2y=6 – 4x\\ – 6x+3y= – 9\end{cases}$
$(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}2y= – 6 +4x\\ – 6x+3y= – 9\end{cases}$
$(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{ – 6 +4x}{2}\\ – 6x+3y= – 9\end{cases}$
$(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{ – 6}{2} +\dfrac{4x}{2}\\ – 6x+3y= – 9\end{cases}$
$(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y= – 3+2x\\ – 6x+3y= – 9\end{cases}$
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3ème étape : Remplacement de $y$.
$(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= – 3+2x\\ – 6x+3( – 3+2x)= – 9\end{cases}$
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4ème étape : Calcul de $x.$
$(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= – 3+2x\\ – 6x – 9+6x= – 9\end{cases}$
$(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= – 3+2x\\ – 9= – 9\end{cases}$
La deuxième équation est toujours vérifiée. Il suffit donc qu’un couple soit solution de la première équation $y= – 3+2x$ pour qu’il soit solution du système.
Or, cette équation possède une infinité de solutions (par exemple $(0~;~ – 3)$, $(1~;~ – 1)$, etc.).
On peut donc sauter la cinquième étape et passer à la conclusion.
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6ème étape : Conclusion.
Le système $(S_4)$ admet une infinité de solutions dans $\mathbb{R}.$