Méthode
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on recherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l’inéquation à un sens; c’est à dire qu’on élimine la ou les valeurs de $x$ qui annulent le ou les dénominateurs.
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on « passe tous les termes » dans le membre de gauche (il doit rester « 0 » dans le membre de droite)
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on réduit le membre de gauche au même dénominateur
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on factorise le numérateur et le dénominateur pour obtenir des facteurs du premier degré
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on trace le tableau de signe (voir la fiche : Dresser un tableau de signes)
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on regarde les signes correspondant à l’inégalité demandée.
Bien sûr, il arrive parfois que certaines de ces étapes ne soient pas nécessaires (notamment si l’inéquation est déjà de la forme souhaitée)
Exemple
Résoudre l’inéquation : $\dfrac{2}{x – 2} \leqslant x – 1$
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On recherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l’inéquation à un sens
Ici $x – 1$ est toujours défini et $\dfrac{2}{x – 2}$ est défini si $x – 2\neq 0$ c’est à dire si $x\neq 2$.
L’inéquation a donc un sens uniquement sur $\mathbb{R}\backslash\left\{2\right\}$
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On « passe tous les termes » dans le membre de gauche
$\dfrac{2}{x – 2} \leqslant x – 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{x – 2} – \left(x – 1\right) \leqslant 0$ -
On réduit le membre de gauche au même dénominateur
Le dénominateur commun est $x – 2$ :
$\dfrac{2}{x – 2} – \left(x – 1\right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{x – 2} – \dfrac{\left(x – 1\right)\left(x – 2\right)}{x – 2} \leqslant 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{2 – \left(x – 1\right)\left(x – 2\right)}{x – 2} \leqslant 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{ – x^{2}+3x}{x – 2} \leqslant 0$
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On factorise le numérateur et le dénominateur
Le dénominateur est du premier degré ; on peut mettre $x$ en facteur au numérateur :
$\dfrac{ – x^{2}+3x}{x – 2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{x\left( – x+3\right)}{x – 2} \leqslant 0$
$x$ s’annule pour $x=0$ et son coefficient directeur 1 est positif
$ – x+3$ s’annule pour $x=3$ et son coefficient directeur -1 est négatif
$x – 2$ s’annule pour $x=2$ et son coefficient directeur 1 est positif
On obtient le tableau de signes suivant :
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On regarde les signes correspondant à l’inégalité demandée
Ici, on veut que $\dfrac{x\left( – x+3\right)}{x – 2}$ soit négatif ou nul. D’après le tableau de signes, ceci est réalisé lorsque $x\in \left[0;2\right[ \cup \left[3;+\infty \right[$