Résoudre graphiquement une inéquation avec valeurs absolues
Méthode
Pour résoudre graphiquement des inéquations du type $ \left|x - a\right| < b $ ou $ \left|x - a\right| \leqslant b $ ou $ \left|x - a\right| > b $ ou $ \left|x - a\right| \geqslant b $, on utilise la propriété du cours qui dit que $ \left|x - a\right| $ représente la distance entre $ x $ et $ a $ (plus précisément entre les points d'abscisses $ x $ et $ a $).
Exemple
Par exemple, soit l'inéquation $ \left|x - 2\right| < 3 $.
On interprète ceci comme « la distance entre x et 2 est strictement inférieure à 3 ».
On trace donc le graphique suivant :
Sur le graphique on voit que les nombres situés à moins de 3 unités du nombre 2 sont les nombres de l'intervalle $ \left] - 1; 5\right[ $. Donc:
$ S=\left] - 1; 5\right[ $
Si l'inéquation avait été $ \left|x - 2\right| \leqslant 3 $, il fallait prendre les extrémités de l'intervalle. L'ensemble des solutions était alors l'intervalle fermé:
$ S=\left[ - 1; 5\right] $
Variante 1
Pour une inéquation du type $ \left|x - a\right| > b $ l'ensemble des solutions est la réunion de deux intervalles.
Exemple
Par exemple pour l'inéquation $ \left|x - 2\right| > 3 $, les solutions sont les nombres situés à plus de 3 unités du nombre 2.
On trouve donc :
$ S=\left] - \infty ; - 1\right[ \cup \left]5; \infty \right[ $
Variante 2
Pour une inéquation du type $ \left|x+a\right| < b $ on utilise le fait que $ x+a=x - \left( - a\right) $.
Exemple
Par exemple l'inéquation $ \left|x+2\right| < 3 $ est identique à $ \left|x - \left( - 2\right)\right| < 3 $.
On applique alors la même méthode : la distance entre x et -2 est strictement inférieure à 3 etc. (faites le graphique!) et on trouve :
$ S=\left] - 5; 1\right[ $
Variante 3
Pour une inéquation du type $ \left|mx+a\right| < b $ on met $ m $ en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par $ \left|m\right| $.
Exemple
Par exemple l'inéquation $ \left|2x - 1\right| < 3 $ donne:
$ \left|2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)\right| < 3 $
$ \left|2\right|\times \left|x - \dfrac{1}{2}\right| < 3 $ car $ \left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right| $
$ 2\times \left|x - \dfrac{1}{2}\right| < 3 $
$ \left|x - \dfrac{1}{2}\right| < \dfrac{3}{2} $ en divisant chaque membre par 2.
On est revenu au cas précédent et on trouve:
$ S=\left] - 1; 2\right[ $