1. Part en pourcentage
Définition
Soit $ E $ un ensemble fini (que l’on appellera ensemble de référence) et $ F $ une partie de l’ensemble $ E $. La part en pourcentage de $ F $ par rapport à $ E $ est le nombre : $ t \% =\dfrac{t}{100}= \dfrac{card \left(F\right)}{card \left(E\right)} $
où $ card \left(E\right) $ (cardinal de $ E $) désigne le nombre d’éléments de $ E $ et $ card \left(F\right) $ le nombre d’éléments de $ F $.
Remarque
- $ 5\% $, $ \dfrac{5}{100} $ et $ 0,05 $ sont trois écritures différentes du même nombre (pourcentage, fraction, écriture décimale).
-
On est en présence d’une situation de proportionnalité que l’on peut représenter par le tableau suivant :
$ t $ nombre d’éléments de $ F $ $ 100 $ nombre d’éléments de $ E $ -
Ceci peut également s’écrire : nombre d’éléments de $ F =\dfrac{t}{100} \times $ nombre d’élements de $ E $.
Cette dernière égalité permet de calculer le nombre d’éléments de $ F $ connaissant sa part en pourcentage par rapport à $ E $
Exemple
-
Dans une classe de $ 25 $ élèves qui compte $ 15 $ garçons le pourcentage de garçons est :
$ \dfrac{15}{25}=0,6=\dfrac{60}{100}=60\% $
- $ 16\% $ de $ 75 $€ font : $ \dfrac{16}{100}\times 75=12 $€
Propriété
Pourcentages de pourcentages Soit 3 ensembles $ E, F, G $ tels que $ G \subset F \subset E $.
Si $ G $ représente $ t_{1} $% de $ F $ et si $ F $ représente $ t_{2} $% de $ E $, la part en pourcentage de $ G $ par rapport à $ E $ est :
$ \dfrac{t}{100}=\dfrac{t_{1}}{100}\times \dfrac{t_{2}}{100} $
Exemple
Dans un lycée de $ 800 $ élèves :
- $ 25 $ % des élèves sont en Seconde;
- $ 45 $ % des élèves de Seconde sont des filles.
La part des filles de Seconde dans le lycée est :
$ \dfrac{t}{100}=\dfrac{25}{100}\times \dfrac{45}{100}=\dfrac{1125}{10000}=\dfrac{11,25}{100}=11,25\% $
Le nombre de filles en Seconde est $ \dfrac{11,25}{100}\times 800=90 $
2. Pourcentages d’évolution
Définition
On considère une quantité passant d’une valeur $ V_{0} $ à une valeur $ V_{1} $.
Le pourcentage d’évolution de cette quantité est le nombre
$ \dfrac{t}{100}=\dfrac{V_{1} – V_{0}}{V_{0}} $
Remarque
Le pourcentage d’évolution est positif dans le cas d’une augmentation et négatif dans le cas d’une diminution.
Exemple
Le prix d’un article passe de 80€ à 76€. Le pourcentage d’évolution est : $ \dfrac{t}{100}=\dfrac{76 – 80}{80}= – \dfrac{4}{80}= – 0,05= – 5\% $
Le prix de l’article a diminué de 5%
Définition
On considère une quantité passant d’une valeur $ V_{0} $ à une valeur $ V_{1} $.
Le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel il faut multiplier $ V_{0} $ pour obtenir $ V_{1} $ :
$ V_{1}=CM \times V_{0} $
Remarque
- On a donc $ CM=\dfrac{V_{1}}{V_{0}} $
- Le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 dans le cas d’une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d’une diminution.
-
La fonction qui à l’ancienne valeur associe la nouvelle valeur est : $ x\mapsto CM\times x $
C’est une fonction linéaire de coefficient directeur $ CM $
Propriété
Le coefficient multiplicateur s’exprime en fonction du pourcentage d’évolution par:
$ CM=1+\dfrac{t}{100} $
(où $ t $ est positif en cas d’augmentation, négatif en cas de diminution)
Remarque
- On a donc : $ V_{1}=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)V_{0} $.
-
Dans le cas d’une diminution de $ 5 $%, par exemple, on pourra au choix considérer que :
$ CM=1+\dfrac{t}{100} $ avec $ t= – 5 $
ou
$ CM=1 – \dfrac{t}{100} $ avec $ t=5 $
Dans les deux raisonnements, on obtient évidemment le même coefficient multiplicateur $ 0,95 $.
- Connaissant le coefficient multiplicateur, on a facilement le pourcentage d’évolution grâce à la relation : $ \dfrac{t}{100}=CM – 1 $
-
Le tableau ci-dessous résume les différents cas :
Calculs à effectuer Multiplier $ x $ par $ \dfrac{t}{100} $ Multiplier $ x $ par $ 1+\dfrac{t}{100} $ Multiplier $ x $ par $ 1 – \dfrac{t}{100} $ Fonction linéaire $ x\mapsto \dfrac{t}{100}\times x $ $ x\mapsto \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times x $ $ x\mapsto \left(1 – \dfrac{t}{100}\right)\times x $
Exemple
| Prendre $ 25\% $ de $ x $ | Augmenter $ x $ de $ 25\% $ | Diminuer $ x $ de $ 25\% $ | |
| Calculs à effectuer | Multiplier $ x $ par $ \dfrac{25}{100} $ | Multiplier $ x $ par $ 1,25 $ | Multiplier $ x $ par $ 0,75 $ |
| Fonction linéaire | $ x\mapsto 0,25\times x $ | $ x\mapsto 1,25\times x $ | $ x\mapsto 0,75\times x $ |
| Exemples | Prendre $ 25\% $ de 200 | Augmenter 50 de $ 25\% $ | Diminuer 50 de $ 25\% $ |
| Résultat | $ 0,25\times 200=50 $ | $ 1,25\times 50=62,5 $ | $ 0,75\times 50=37,5 $ |
Propriété (Évolutions successives)
Lors d’évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution
Exemple
Le prix d’un objet augmente de $ 10\% $ puis diminue de $ 10\% $.
Le coefficient multiplicateur global est :
$ CM=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1 – \dfrac{10}{100}\right)=0,99 $
Si $ t $ désigne le pourcentage d’évolution global en %, on a donc :
$ 1+\dfrac{t}{100}=0,99 $
$ \dfrac{t}{100}=0,99 – 1= – 0,01= – \dfrac{1}{100} $
Le prix de l’objet a globalement diminué de $ 1\% $.
Remarque
-
Une hausse de $ t\% $ ne « compense » pas une baisse de $ t\% $. C’est dû au fait que les deux pourcentages ne portent pas sur le même montant.
En effet, si un objet coûtant 100 euros subit une augmentation de $ 10\% $ son prix passera à $ 110 $€ (les $ 10\% $ ont été calculé par rapport à $ 100 $€).
Si son prix subit ensuite une diminution de $ 10\% $, le montant de la baisse sera calculé par rapport au prix de $ 110 $€ et non plus de $ 100 $€. La baisse sera donc de $ 11 $€ et non $ 10 $€.
- En cas d’évolution successives,les pourcentages d’évolutions ne s’ajoutent (ni ne soustraient) jamais.
Définition et propriété (Taux d’évolution réciproque)
Si le taux d’évolution $ t \% $ fait passer de $ V_{0} $ à $ V_{1} $, on appelle taux d’évolution réciproque $ t^{\prime} \% $, le taux d’évolution qui fait passer de $ V_{1} $ à $ V_{0} $.
On a alors la relation suivante :
$ \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1+\dfrac{t^{\prime}}{100}\right)=1 $
Exemple
Le prix d’un article augmente de 60%. Pour qu’il revienne à son prix de départ, il faut qu’ensuite il varie de $ t^{\prime} \% $ tel que :
$ \left(1+\dfrac{60}{100}\right)\left(1+\dfrac{t^{\prime}}{100}\right)=1 $
$ 1,6\times \left(1+\dfrac{t^{\prime}}{100}\right)=1 $
$ 1+\dfrac{t^{\prime}}{100}=\dfrac{1}{1,6} $
$ 1+\dfrac{t^{\prime}}{100}=0,625 $
$ \dfrac{t^{\prime}}{100}= – 0,375 $
$ t^{\prime}= – 37,5 $
Il faut donc que le prix diminue de 37,5% pour compenser la hausse de 60%.
Pourcentages : Les 5 questions incontournables
C’est la base du chapitre. Il y a deux situations :
- Prendre un pourcentage (calculer une part) : On multiplie le total par $\dfrac{t}{100}$.
- Exemple : $20\%$ de 500€ se calcule par $ 500 \times 0,20 = 100 $€.
- Trouver un pourcentage (calculer un taux) : On divise la partie par le total, et on met le résultat sous forme de pourcentage.
- Exemple : 5 élèves sur 25 représente une proportion de $\dfrac{5}{25} = 0,20 = \dfrac{20}{100} = 20\%$.
Voir la fiche méthode : Calculer une proportion ou un pourcentage
Pour savoir de quel pourcentage une valeur a augmenté ou diminué, on utilise la formule du taux d’évolution : $\dfrac{V_{arrivée} – V_{départ}}{V_{départ}}$.
- Exemple : Une note passe de 10 à 12.
- Calcul : $\dfrac{12 – 10}{10} = \dfrac{2}{10} = 0,20$.
- On multiplie par 100 pour lire le pourcentage : C’est une augmentation de $20\%$.
Voir la fiche méthode : Calculer un taux d’évolution
Pour calculer un prix final, le plus rapide est d’utiliser le Coefficient Multiplicateur (CM).
- Pour une hausse de 20% : On multiplie le prix par $1+\dfrac{20}{100} = 1,20$ (car $CM = 1+\dfrac{t}{100}$).
- Pour une baisse (solde) de 20% : On multiplie le prix par $1 – \dfrac{20}{100} = 0,80$ (car $CM = 1 – \dfrac{t}{100}$).
- Exemple : Un pull à 50€ soldé à -20% coûte $ 50 \times 0,80 = 40 $€.
Voir la fiche méthode : Calculer une valeur finale
C’est une erreur classique : il ne faut jamais soustraire le pourcentage au prix final. Pour revenir en arrière (taux réciproque), il faut diviser le prix final par le coefficient multiplicateur.
- Exemple : Si un article coûte 120€ après une hausse de 20%, on ne fait pas $120 – 20\%$. On divise 120 par $ 1,20 $ ce qui donne un prix initial de 100€.
Voir la fiche méthode : Retrouver une valeur initiale
Non, les pourcentages ne s’additionnent jamais. Si un prix augmente de 10% puis encore de 10%, l’augmentation totale n’est pas de 20%.
Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux : $1,10 \times 1,10 = 1,21$. L’augmentation globale est donc de 21%. Cela explique pourquoi une hausse de 50% suivie d’une baisse de 50% ne permet pas de revenir au prix de départ.
Voir la fiche méthode : Calculer une évolution globale