1. Fonctions linéaires
Définition
Une fonction linéaire est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par une formule du type : $x\mapsto ax$ où $a \in \mathbb{R}$.
$a$ s’appelle le coefficient de la fonction $f$.
Remarque
La définition ci-dessus indique que si $f$ est une fonction linéaire, les valeurs de $f\left(x\right)$ sont proportionnelles aux valeurs de $x$, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient $a$ de la fonction $f$.
Propriété
La courbe représentative d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
Exemple
Représentation graphique de la fonction linéaire $x\mapsto \dfrac{3}{2}x$
Propriété
Soit $f$ une fonction linéaire.
Pour tous réels $x$ et $x^{\prime}$ : $ f\left(x+x^{\prime}\right)=f\left(x\right)+f\left(x^{\prime}\right)$
Pour tous réels $k$ et $x$ : $ f\left(kx\right)=kf\left(x\right)$
2. Fonctions affines
Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par une formule du type : $x\mapsto ax+b$ où $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$.
Remarque
Si $b=0$, la fonction est linéaire. Les fonctions linéaires sont donc des cas particuliers des fonctions affines.
Propriété
La courbe représentative d’une fonction affine est une droite.
$a$ est le coefficient directeur de la droite et $b$ son ordonnée à l’origine.
Exemple
Représentation graphique de la fonction affine $x\mapsto \dfrac{1}{2}x+2$
Propriété
Soit $f$ une fonction affine de représentation graphique $\mathscr D$ et soient $A$ et $B$ deux points de $\mathscr D$.
Le rapport $\dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}$ ne dépend pas des points $A$ et $B$ choisis et est égal au coefficient directeur de la droite $\mathscr D$ :
$a = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}$
Coefficient directeur de $\mathscr{D}$ : $a = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}=\dfrac{1,5}{3}=0,5$
Théorème
Une fonction affine $x \longmapsto ax+b$ est :
- strictement croissante si $a$ est strictement positif.
- strictement décroissante si $a$ est strictement négatif.
- constante si $a$ est nul.
Démonstration
Démontrons, par exemple, que la fonction $f : x\mapsto ax+b$ est strictement décroissante si $a < 0$.
Soient deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1 < x_2$
Alors $ax_1 > ax_2$ (on change le sens de l’inégalité car on multiplie par un réel négatif) donc
$ax_1+b > ax_2+b$ c’est à dire :
$f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right)$
Le sens de l’inégalité est inversé donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
Remarque
Ce théorème s’applique aussi aux fonctions linéaires puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières.