Exercices
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Ensembles de nombres : appartenance et inclusion
Compléter chacune des lignes ci-dessous à l'aide d'un des symboles $ \in $, $ \subset $, $ \notin $ ou $ \cancel{\subset} $ :
- $ \quad \pi \; \ldots \; \mathbb{Q} $
- $ \quad \mathbb{Z} \; \ldots \; \mathbb{Q} $
- $ \quad \mathbb{R} \; \ldots \; \mathbb{Z} $
- $ \quad - \dfrac{6}{12} \; \ldots \; \mathbb{D} $
- $ \quad - \dfrac{12}{6} \; \ldots \; \mathbb{Z} $
- $ \quad \left\{\sqrt{3}\right\} \; \ldots \; \mathbb{R} $
- $ \quad \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} \; \ldots \; \mathbb{N} $
- $ \quad \mathbb{R}^\star \; \ldots \; \mathbb{R} $
Corrigé
- $ \pi \; \notin \; \mathbb{Q} $
$ \pi $ est un nombre irrationnel (il ne peut pas s'écrire comme quotient de deux entiers). Donc il n'appartient pas à l'ensemble $ \mathbb{Q} $ des nombres rationnels. - $ \mathbb{Z} \; \subset \; \mathbb{Q} $
Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres rationnels. L'ensemble $ \mathbb{Z} $ est donc inclus dans l'ensemble $ \mathbb{Q} $. On met le signe $ \subset $ et non $ \in $ car $ \mathbb{Z} $ est un ensemble et non un nombre. - $ \mathbb{R} \; \cancel{\subset} \; \mathbb{Z} $
Tous les nombres réels ne sont pas des entiers relatifs (par exemple $ \dfrac{1}{2} $, $ \dfrac{1}{3} $, $ \pi $,$ \ldots $ ne sont pas entiers). Donc l'ensemble $ \mathbb{R} $ n'est pas inclus dans $ \mathbb{Z} $. - $ - \dfrac{6}{12} \; \in \; \mathbb{D} $
$ - \dfrac{6}{12}= - \dfrac{1}{2}= - 0,5 $ est un nombre décimal. Il appartient donc à l'ensemble $ \mathbb{D} $ des nombres décimaux. - $ - \dfrac{12}{6} \; \in \; \mathbb{Z} $
$ - \dfrac{12}{6}= - 2 $ est un nombre entier relatif. Il appartient donc à l'ensemble $ \mathbb{Z} $ des nombres entiers relatifs. - $ \left\{\sqrt{3}\right\} \; \subset \; \mathbb{R} $
À cause des accolades, $ \left\{\sqrt{3}\right\} $ représente un ensemble. C'est un ensemble qui contient uniquement le nombre réel $ \sqrt{3} $. Cet ensemble est donc inclus dans $ \mathbb{R} $ (« inclus » et non « appartient » car il s'agit d'un ensemble). - $ \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} \; \cancel{\subset} \quad \mathbb{N} $
L'ensemble $ \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} $ contient le nombre $ - 1 $ qui n'est pas un entier naturel. Il n'est donc pas inclus dans l'ensemble $ \mathbb{N}. $ - $ \mathbb{R}^\star \; \subset \; \mathbb{R} $
L'ensemble $ \mathbb{R}^\star $ est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception de 0. Cet ensemble est donc inclus dans $ \mathbb{R}. $