Calcul littéral : Simplification de fractions

Pour la question b. de ces exercices, la méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur et à simplifier par le(s) facteur(s) commun(s) au numérateur et au dénominateur.

1. $A=\dfrac{x^2 – 4}{(x – 1)(x+2)}$

   1. La fraction $A$ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul.

      Or :

      $(x – 1)(x+2)=0 \Leftrightarrow x – 1 = 0 \text{ ou } x+2=0$

      $\phantom{(x – 1)(x+2)=0} \Leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x= – 2.$

      Donc l’ensemble de définition de $A$ est $\mathscr{D}_A=\mathbb{R} \backslash \{ – 2~;~1\}.$

   2. On factorise le numérateur à l’aide de l’identité remarquable $a^2 – b^2=(a – b)(a+b)$ :

      $x^2 – 4=(x – 2)(x+2)$

      Par conséquent pour tout réel $x \in \mathscr{D}_A~:$

      $A=\dfrac{(x – 2)(x+2)}{(x – 1)(x+2)}$$= \dfrac{x – 2}{x – 1}$

   3. La fraction simplifiée est définie si et seulement si $x \neq 1$ donc sur $\mathbb{R} \backslash \{~1\}.$

2. $B=\dfrac{(x+1)(x – 5)+(x+1)^2}{x^2+2x+1}$

   1. Le dénominateur se factorise grâce à l’identité remarquable $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2~:$

      $x^2+2x+1=(x+1)^2$

      Le dénominateur est différent de zéro si et seulement si $x \neq – 1$ donc $\mathscr{D}_B=\mathbb{R} \backslash \{ – 1\}.$

   2. On peut mettre $(x+1)$ en facteur au numérateur :

      $(x+1)(x – 5)+(x+1)^2=(x+1)\left[(x – 5)+(x+1)\right]$

      $\phantom{(x+1)(x – 5)+(x+1)^2}=(x+1)(2x – 4).$

      Par conséquent, pour tout réel $x \in \mathscr{D}_B$ :

      $B=\dfrac{(x+1)(x – 5)+(x+1)^2}{(x+1)^2}$

      $\phantom{B}=\dfrac{(x+1)(2x – 4)}{(x+1)^2}$

      $\phantom{B}=\dfrac{2x – 4}{x+1}.$

   3. L’ensemble de définition de la fraction simplifiée est encore $\mathbb{R} \backslash \{ – 1\}.$

3. $C=\dfrac{x^4 – 1}{(x – 1)(2x+1)}$

   1. Le dénominateur est non nul si et seulement si $x \neq 1$ et $x \neq – \dfrac{1}{2}.$. Donc $\mathscr{D}_C=\mathbb{R} \backslash \left\{ – \dfrac{1}{2}~;~1\right\}.$

   2. $x^4 – 1$ se factorise de la manière suivante  :

      $x^4 – 1=(x^2)^2 – 1^2=(x^2 – 1)(x^2+1)$$=(x – 1)(x+1)(x^2+1).$

      Remarque : $x^2+1$ ne peut pas être factorisé dans $\mathbb{R}.$

      On en déduit que :

      $C=\dfrac{(x – 1)(x+1)(x^2+1)}{(x – 1)(2x+1)}$$=\dfrac{(x+1)(x^2+1)}{2x+1}$

   3. La fraction simplifiée est définie sur l’ensemble $\mathbb{R} \backslash \left\{ – \dfrac{1}{2} \right\}.$