Soient $(D)$ et $(D^{\prime})$ deux droites d’équations réduites respectives $y=ax+b$ et $y=a^{\prime}x+b^{\prime}$ avec $a \neq a^{\prime}$.
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Expliquer pourquoi les droites $(D)$ et $(D^{\prime})$ sont sécantes.
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On note $A(\alpha ; \beta)$ le point d’intersection de $(D)$ et $(D^{\prime})$ et $M$ le point de la droite $(D)$ d’abscisse $\alpha + 1$.
Déterminer l’ordonnée de $M$ en fonction de $a$ et de $\beta$.
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Soit $M^{\prime}$ le point de la droite $(D^{\prime})$ d’abscisse $\alpha + 1$.
Déterminer l’ordonnée de $M^{\prime}$ en fonction de $a^{\prime}$ et de $\beta$
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Calculer, en fonction de $a$ et de $a^{\prime}$ les longueurs $AM,\ AM^{\prime}$ et $MM^{\prime}$.
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À quelle condition portant sur $a$ et $a^{\prime}$ les droites $(D)$ et $(D^{\prime})$ sont-elles perpendiculaires ?
Corrigé
Solution rédigée par Edav
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Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Ici, $(D)$ et $(D^{\prime})$ ont des coefficients directeurs $a$ et $a^{\prime}$ différents, donc les droites $(D)$ et $(D^{\prime})$ sont sécantes.
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Remarque préalable : Le point $A(\alpha ; \beta)$ appartient à $(D)$ et à $(D^{\prime})$, par conséquent, ses coordonnées vérifient les équations de $(D)$ et de $(D^{\prime})$ c’est à dire :
$\beta = a \alpha + b$
$\beta = a^{\prime} \alpha + b^{\prime}$
Notons $(x_M~;~y_M)$ les coordonnées de M. Comme $M$ appartient à $(D)$ :
$y_M = a x_M + b$
Or, d’après l’énoncé $x_M = \alpha + 1$, donc :
$y_M = a ( \alpha + 1 ) + b$$= a \alpha + a + b$$= \beta + a$
puisque d’après la remarque préalable $\beta = a \alpha + b$.
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Un calcul analogue à celui de la question 2. conduit à :
$y_{M^{\prime}} = \beta + a^{\prime}$
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On utilise la formule :
$AM = \sqrt{ (x_M – x_A)^2 + (y_M – y_A)^2 }$$AM =$$\sqrt{ (\alpha + 1 – \alpha)^2 + (\beta + a – \beta )^2 }$$= \sqrt{ 1 + a^2 }$
$AM^{\prime} =$ $\sqrt{ (\alpha + 1 – \alpha)^2 + (\beta + a^{\prime} – \beta )^2 }$$= \sqrt{ 1 + {a ^{\prime}} ^2 }$
$MM^{\prime} =$ $\sqrt{ (\alpha + 1 – \alpha – 1)^2 + (\beta + a – \beta – a^{\prime} )^2 }$$= \sqrt{ (a – {a ^{\prime}}) ^2 }$
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Les droites $(D)$ et $(D^{\prime})$ sont perpendiculaires si et seulement si le triangle $AMM^{\prime}$ est rectangle en $A$ c’est à dire, d’après le théorème de Pythagore et sa réciproque si et seulement si :
${MM^{\prime}}^2 = {AM}^2 + {AM^{\prime}}^2$
$\Leftrightarrow (a – a^{\prime})^2 = 1+a^2 + 1+ {a^{\prime}}^2$
$\Leftrightarrow a^2 – 2aa^{\prime}+ {a^{\prime}}^2 = 1+a^2 + 1+ {a^{\prime}}^2$
$\Leftrightarrow – 2aa^{\prime} = 2$
$\Leftrightarrow aa^{\prime} = – 1$
Les droites $(D)$ et $(D^{\prime})$ sont perpendiculaires si et seulement si $aa^{\prime} = – 1$.