Logo maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr
Connexion Inscription
edit_note Exercices 40 min
Non commencé

Droites perpendiculaires

Soient $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ deux droites d'équations réduites respectives $ y=ax+b $ et $ y=a^{\prime}x+b^{\prime} $ avec $ a \neq a^{\prime} $.

  1. Expliquer pourquoi les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont sécantes.
  2. On note $ A(\alpha ; \beta) $ le point d'intersection de $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ et $ M $ le point de la droite $ (D) $ d'abscisse $ \alpha + 1 $.

    Déterminer l'ordonnée de $ M $ en fonction de $ a $ et de $ \beta $.
  3. Soit $ M^{\prime} $ le point de la droite $ (D^{\prime}) $ d'abscisse $ \alpha + 1 $.

    Déterminer l'ordonnée de $ M^{\prime} $ en fonction de $ a^{\prime} $ et de $ \beta $
  4. Calculer, en fonction de $ a $ et de $ a^{\prime} $ les longueurs $ AM,\ AM^{\prime} $ et $ MM^{\prime} $.
  5. À quelle condition portant sur $ a $ et $ a^{\prime} $ les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont-elles perpendiculaires ?

Corrigé

Solution rédigée par Edav

  1. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

    Ici, $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ ont des coefficients directeurs $ a $ et $ a^{\prime} $ différents, donc les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont sécantes.

  2. Remarque préalable : Le point $ A(\alpha ; \beta) $ appartient à $ (D) $ et à $ (D^{\prime}) $, par conséquent, ses coordonnées vérifient les équations de $ (D) $ et de $ (D^{\prime}) $ c'est à dire :

    $ \beta = a \alpha + b $

    $ \beta = a^{\prime} \alpha + b^{\prime} $

    Notons $ (x_M~;~y_M) $ les coordonnées de M. Comme $ M $ appartient à $ (D) $ :

    $ y_M = a x_M + b $

    Or, d'après l'énoncé $ x_M = \alpha + 1 $, donc :

    $ y_M = a ( \alpha + 1 ) + b = a \alpha + a + b = \beta + a $

    puisque d'après la remarque préalable $ \beta = a \alpha + b $.

  3. Un calcul analogue à celui de la question 2. conduit à :

    $ y_{M^{\prime}} = \beta + a^{\prime} $
  4. On utilise la formule : $ AM = \sqrt{ (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 } $

    $ AM = \sqrt{ (\alpha + 1 - \alpha)^2 + (\beta + a - \beta )^2 }= \sqrt{ 1 + a^2 } $

    $ AM^{\prime} = \sqrt{ (\alpha + 1 - \alpha)^2 + (\beta + a^{\prime} - \beta )^2 } = \sqrt{ 1 + {a ^{\prime}} ^2 } $

    $ MM^{\prime} = \sqrt{ (\alpha + 1 - \alpha - 1)^2 + (\beta + a - \beta - a^{\prime} )^2 } = \sqrt{ (a - {a ^{\prime}}) ^2 } $
  5. Les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont perpendiculaires si et seulement si le triangle $ AMM^{\prime} $ est rectangle en $ A $ c'est à dire, d'après le théorème de Pythagore et sa réciproque si et seulement si :

    $ {MM^{\prime}}^2 = {AM}^2 + {AM^{\prime}}^2 $

    $ \Leftrightarrow (a - a^{\prime})^2 = 1+a^2 + 1+ {a^{\prime}}^2 $

    $ \Leftrightarrow a^2 - 2aa^{\prime}+ {a^{\prime}}^2 = 1+a^2 + 1+ {a^{\prime}}^2 $

    $ \Leftrightarrow - 2aa^{\prime} = 2 $

    $ \Leftrightarrow aa^{\prime} = - 1 $

    Les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont perpendiculaires si et seulement si $ aa^{\prime} = - 1 $.