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edit_note Exercices 30 min
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Probabilités : Tableau à double entrée

À l'occasion d'une cérémonie, un pâtissier confectionne un assortiment de 180 gâteaux composé d'éclairs au chocolat, d'éclairs au café, de religieuses au chocolat et de religieuses au café.

Les deux tiers de ces pâtisseries sont des éclairs. On sait également qu'il y a 100 gâteaux au chocolat parmi lesquels un quart sont des religieuses.

  1. À partir des indications de l'énoncé, compléter le tableau suivant :

    Chocolat Café Total
    Éclairs
    Religieuses
    Total 180

  2. Antoine choisit au hasard un gâteau parmi toutes les pâtisseries.

    Quelle est la probabilité qu'il s'agisse :

    1. d'un éclair au chocolat ?
    2. d'une religieuse ?
    3. d'une pâtisserie au café ?
  3. Bernard prend une pâtisserie au hasard. Sachant qu'il s'agit d'une religieuse, quelle est la probabilité que celle-ci soit au chocolat ?
  4. Corentin a pris deux gâteaux au hasard. Quelle est la probabilité qu'ils aient le même parfum ?

Corrigé

  1. D'après l'énoncé, deux tiers des 180 pâtisseries sont des éclairs, soit $\dfrac{2}{3} \times 180 = 120$ éclairs.
    Il y a donc $180 - 120 = 60$ religieuses.
    Il y a 100 gâteaux au chocolat, dont un quart sont des religieuses : $\dfrac{1}{4} \times 100 = 25$ religieuses au chocolat.
    On en déduit qu'il y a $60 - 25 = 35$ religieuses au café, et $100 - 25 = 75$ éclairs au chocolat.
    Enfin, il y a $120 - 75 = 45$ éclairs au café.

    Chocolat Café Total
    Éclairs 75 45 120
    Religieuses 25 35 60
    Total 100 80 180

  2. L'exercice consiste à choisir au hasard un gâteau parmi les 180. On est dans une situation d'équiprobabilité.

    1. La probabilité qu'il s'agisse d'un éclair au chocolat est :

      $ P(E \cap Ch) = \dfrac{75}{180} = \dfrac{5}{12} $

    2. La probabilité qu'il s'agisse d'une religieuse est :

      $ P(R) = \dfrac{60}{180} = \dfrac{1}{3} $

    3. La probabilité qu'il s'agisse d'une pâtisserie au café est :

      $ P(Ca) = \dfrac{80}{180} = \dfrac{4}{9} $

  3. On sait que le gâteau choisi par Bernard est une religieuse (il y en a 60). Parmi elles, 25 sont au chocolat.
    L'expérience se limite aux religieuses, la probabilité est donc :

    $ P_R(Ch) = \dfrac{25}{60} = \dfrac{5}{12} $

  4. Corentin prend deux gâteaux au hasard. La probabilité qu'ils aient le même parfum est la somme des probabilités qu'ils soient tous les deux au chocolat ou tous les deux au café.

    • Parfum chocolat : La probabilité est $\dfrac{100}{180} \times \dfrac{99}{179} = \dfrac{55}{179}$.
    • Parfum café : La probabilité est $\dfrac{80}{180} \times \dfrac{79}{179} = \dfrac{316}{1611}$.

    La probabilité que les deux gâteaux aient le même parfum est donc :

    $ P = \dfrac{55}{179} + \dfrac{316}{1611} = \dfrac{495}{1611} + \dfrac{316}{1611} = \dfrac{811}{1611} \approx 0,503 $

(Solution rédigée par Abi)